函數(shù)的極值與最值

　　題型一　函數(shù)極值與極值點(diǎn)的判斷、求解問題

　　例1　函數(shù)y=2x-的極大值是________.

　　破題切入點(diǎn)　根據(jù)函數(shù)極值的求解步驟，先求導(dǎo)函數(shù)，判斷單調(diào)性，最后求出極值.

　　答案　-3

　　解析　y′=2+，令y′=0，得x=-1.

　　當(dāng)x<-1時(shí)，y′>0;當(dāng)x>-1時(shí)，y′<0.

　　∴當(dāng)x=-1時(shí)，y取極大值-3.

　　題型二　根據(jù)函數(shù)的極值來研究函數(shù)圖象問題

　　例2　已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c=________.

　　破題切入點(diǎn)　結(jié)合函數(shù)的極值點(diǎn)，作出函數(shù)大致圖象來解決.

　　答案　-2或2

　　解析　∵y′=3x2-3，∴當(dāng)y′=0時(shí)，x=±1.

　　則當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表：

　　x (-∞，-1) -1 (-1,1) 1 (1，+∞) y′ + - + y ( c+2 ( c-2 ( ∴當(dāng)函數(shù)圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，必有c+2=0或c-2=0，∴c=-2或c=2.

　　題型三　函數(shù)的極值問題

　　例3　已知函數(shù)f(x)=(m，n∈R)在x=1處取得極值2.

　　(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

　　(2)設(shè)函數(shù)g(x)=ln x+，若對任意的x1∈R，總存在x2∈[1，e]，使得g(x2)≤f(x1)+，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　破題切入點(diǎn)　(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合題中條件列出方程組，解出參數(shù)的值(需驗(yàn)證)，即可得到函數(shù)的解析式.

　　(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g(x)的最小值，通過求解不等式得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　解　(1)f′(x)==，

　　由于f(x)在x=1處取得極值2，故f′(1)=0，f(1)=2，

　　即

　　解得m=4，n=1，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)f(x)在x=1處取得極值.

　　故f(x)=.

　　(2)由(1)知f(x)的定義域?yàn)镽，且f(-x)=-f(x).

　　故f(x)為奇函數(shù)，f(0)=0.

　　當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，f(x)=≤2，

　　當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”.

　　當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，f(x)=≥-2，

　　當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取“=”.

　　故f(x)的值域?yàn)閇-2,2]，從而f(x1)+≥.

　　依題意有g(shù)(x)min≤，x∈[1，e]，

　　g′(x)=-=，

　�、佼�(dāng)a≤1時(shí)，g′(x)≥0，函數(shù)g(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，

　　其最小值為g(1)=a≤1<，符合題意;

　�、诋�(dāng)1，不符合題意.

　　綜合所述，a的取值范圍為(-∞，].

　　題型四　函數(shù)的最值問題

　　例4　已知函數(shù)f(x)=x2+ln x.

　　(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值;

　　(2)求證：在區(qū)間(1，+∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.

　　破題切入點(diǎn)　(1)f(x)在閉區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值要么在端點(diǎn)處取得，要么在極值點(diǎn)處取得.所以首先要研究f(x)在[1，e]上的單調(diào)性.

　　(2)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方，即g(x)-f(x)在(1，+∞)上恒大于0.

　　(1)解　當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′(x)=x+>0，

　　所以f(x)在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù).

　　所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得最小值;

　　當(dāng)x=e時(shí)，f(x)取得最大值e2+1.

　　(2)證明　設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=x3-x2-ln x，x∈(1，+∞)，

　　則h′(x)=2x2-x-=

　　=.

　　當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)在區(qū)間(1，+∞)上為增函數(shù)，所以h(x)>h(1)=>0.

　　所以對于x∈(1，+∞)，g(x)>f(x)成立，即f(x)的圖象在g(x)的圖象的下方.

　　總結(jié)提高　(1)準(zhǔn)確把握函數(shù)極值與最值的概念，極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，在所給的區(qū)間上極大值和極小值不一定唯一，且極大值不一定大于極小值，而最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，在所給的區(qū)間上最大值一定大于最小值，且最大值和最小值都是唯一的.

　　(2)函數(shù)在x0處取得極值，有f′(x0)=0，而f′(x0)=0不一定有f(x)在x0處取得極值.

　　(3)兩者之間的聯(lián)系，求最值時(shí)先要求出極值然后和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值相比較而得出最大值和最小值.

　　1.(2014·課標(biāo)全國Ⅱ改編)函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在.若p：f′(x0)=0;q：x=x0是f(x)的極值點(diǎn)，則p是q的________條件.

　　答案　必要不充分

　　解析　當(dāng)f′(x0)=0時(shí)，x=x0不一定是f(x)的極值點(diǎn)，

　　比如，y=x3在x=0時(shí)，f′(0)=0，

　　但在x=0的左右兩側(cè)f′(x)的符號相同，

　　因而x=0不是y=x3的極值點(diǎn).

　　由極值的定義知，x=x0是f(x)的極值點(diǎn)必有f′(x0)=0.

　　綜上知，p是q的必要條件，但不是充分條件.

　　2.(2013·遼寧改編)設(shè)函數(shù)f(x)滿足x2f′(x)+2xf(x)=，f(2)=，則x>0時(shí)，f(x)極值情況為________.

　　答案　無極大值也無極小值

　　解析　由x2f′(x)+2xf(x)=，

　　得f′(x)=，令g(x)=ex-2x2f(x)，x>0，

　　則g′(x)=ex-2x2f′(x)-4xf(x)=ex-2·=.令g′(x)=0，得x=2.

　　當(dāng)x>2時(shí)，g′(x)>0;當(dāng)0

　　∴g(x)在x=2時(shí)有最小值g(2)=e2-8f(2)=0，

　　從而當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)≥0，

　　則f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，

　　∴函數(shù)f(x)無極大值，也無極小值.

　　3.已知x=3是函數(shù)f(x)=aln x+x2-10x的一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a=________.

　　答案　12

　　解析　f′(x)=+2x-10，由f′(3)=+6-10=0，

　　得a=12，經(jīng)檢驗(yàn)滿足.

　　4.設(shè)變量a，b滿足約束條件z=|a-3b|的最大值為m，則函數(shù)f(x)=x3-x2-2x+2的極小值為________.

　　答案　-

　　解析　據(jù)線性規(guī)劃可得(a-3b)min=-8，

　　(a-3b)max=-2，

　　故2≤|a-3b|≤8，即m=8，

　　此時(shí)f′(x)=x2-x-2=(x-2)·(x+1)，

　　可得當(dāng)x≤-1時(shí)f′(x)>0，

　　當(dāng)-10，

　　故當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值，

　　即f(x)極小值=f(2)=-.

　　5.已知函數(shù)f(x)=x3+2bx2+cx+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈[-2，-1]，x2∈[1,2]，則f(-1)的取值范圍是________.

　　答案　[3,12]

　　解析　方法一　由于f′(x)=3x2+4bx+c，

　　據(jù)題意方程3x2+4bx+c=0有兩個(gè)根x1，x2，

　　且x1∈[-2，-1]，x2∈[1,2]，

　　令g(x)=3x2+4bx+c，

　　結(jié)合二次函數(shù)圖象可得只需

　　此即為關(guān)于點(diǎn)(b，c)的線性約束條件，作出其對應(yīng)平面區(qū)域，f(-1)=2b-c，問題轉(zhuǎn)化為在上述線性約束條件下確定目標(biāo)函數(shù)f(-1)=2b-c的最值問題，由線性規(guī)劃易知3≤f(-1)≤12.

　　方法二　方程3x2+4bx+c=0有兩個(gè)根x1，x2，且x1∈[-2，-1]，x2∈[1,2]的條件也可以通過二分法處理，即只需g(-2)g(-1)≤0，g(2)g(1)≤0即可，利用同樣的方法也可解答.

　　6.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=x2-x，則當(dāng)x=________時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值.

　　答案　0

　　解析　當(dāng)x<0或x>1時(shí)，f′(x)>0;

　　當(dāng)02或a<-1

　　解析　f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)，

　　令3x2+6ax+3(a+2)=0，即x2+2ax+a+2=0.

　　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有極大值又有極小值，

　　所以方程x2+2ax+a+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

　　即Δ=4a2-4a-8>0，解得a>2或a<-1.

　　9.若函數(shù)f(x)=-x2+4x-3ln x在[t，t+1]上不單調(diào)，則t的取值范圍是________________.

　　答案　00時(shí)，(x-k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值.

　　解　(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，f′(x)=ex-a.

　　若a≤0，則f′(x)>0，

　　所以f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增.

　　若a>0，則當(dāng)x∈(-∞，ln a)時(shí)，f′(x)<0;

　　當(dāng)x∈(ln a，+∞)時(shí)，f′(x)>0.

　　所以，f(x)在(-∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，+∞)上單調(diào)遞增.

　　(2)由于a=1時(shí)，(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.

　　故當(dāng)x>0時(shí)，(x-k)f′(x)+x+1>0等價(jià)于

　　k<+x(x>0).①

　　令g(x)=+x，

　　則g′(x)=+1=.

　　由(1)知，函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

　　又h(1)=e-3<0，h(2)=e2-4>0.

　　所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一零點(diǎn).

　　故g′(x)在(0，+∞)上存在唯一零點(diǎn).

　　設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈(1,2).

　　當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)<0;當(dāng)x∈(α，+∞)時(shí)，g′(x)>0，

　　所以g(x)在(0，+∞)上的最小值為g(α).

　　又由g′(α)=0，得eα=α+2，所以g(α)=α+1∈(2,3).

　　由于①式等價(jià)于k0)，x∈R.

　　(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

　　(2)若對于任意的x1∈(2，+∞)，都存在x2∈(1，+∞)，使得f(x1)·f(x2)=1，求a的取值范圍.

　　解　(1)由已知，有f′(x)=2x-2ax2(a>0).

　　令f′(x)=0，解得x=0或x=.

　　當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

　　x (-∞，0) 0 (0，) (，+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ( 0 ( ( 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，);單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，0)，(，+∞).

　　當(dāng)x=0時(shí)，f(x)有極小值，且極小值f(0)=0;當(dāng)x=時(shí)，f(x)有極大值，且極大值f()=.

　　(2)由f(0)=f()=0及(1)知，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f(x)>0;當(dāng)x∈(，+∞)時(shí)，f(x)<0.

　　設(shè)集合A={f(x)|x∈(2，+∞)}，集合B={|x∈(1，+∞)，f(x)≠0}，則“對于任意的x1∈(2，+∞)，都存在x2∈(1，+∞)，使得f(x1)·f(x2)=1”等價(jià)于AB.顯然，0B.

　　下面分三種情況討論：

　�、佼�(dāng)>2，即0時(shí)，有f(1)<0，且此時(shí)f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，故B=(，0)，A=(-∞，f(2))，所以A不是B的子集.

　　綜上，a的取值范圍是[，].

　　12.(2014·山東)設(shè)函數(shù)f(x)=-k(+ln x)(k為常數(shù)，e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).

　　(1)當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

　　(2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

　　解　(1)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0，+∞).

　　f′(x)=-k(-+)

　　=-

　　=.

　　由k≤0可得ex-kx>0，

　　所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減;

　　當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.

　　所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，+∞).

　　(2)由(1)知，k≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，

　　故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn);

　　當(dāng)k>0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=ex-kx，x∈[0，+∞).

　　因?yàn)間′(x)=ex-k=ex-eln k，

　　當(dāng)00，y=g(x)單調(diào)遞增.

　　故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn).

　　當(dāng)k>1時(shí)，

　　得x∈(0，ln k)時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減;

　　x∈(ln k，+∞)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增.

　　所以函數(shù)y=g(x)的最小值為g(ln k)=k(1-ln k).

　　函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，