題型一　函數(shù)零點所在區(qū)間問題

　　例1　函數(shù)f(x)=+ln 的零點所在的大致區(qū)間是(n，n+1)，則n=________.

　　破題切入點　確定函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的符號是否相反，根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間.

　　答案　2

　　解析　f(x)=+ln =-ln(x-1)，

　　函數(shù)的定義域為(1，+∞).

　　當10，

　　所以f(x)>0，故函數(shù)在(1,2)上沒有零點.

　　f(2)=-ln 1=1>0，

　　f(3)=-ln 2==，

　　因為=2≈2.828，所以>e，

　　故 ln e0)的解的個數(shù)是________.

　　答案　2

　　解析　(數(shù)形結(jié)合法)

　　∵a>0，∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的圖象如圖，∴y=|x2-2x|的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個交點.

　　3.定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x≥0時，f(x)=則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)-a(00時，由f(x)=0，即ln(x2-x+1)=0，

　　得x2-x+1=1，解得x=0(舍去)或x=1.

　　當x≤0時，f(x)=ex-x-2，f′(x)=ex-1≤0，

　　所以函數(shù)f(x)在(-∞，0]上單調(diào)遞減.

　　而f(0)=e0-0-2=-1<0，f(-2)=e-2-(-2)-2=e-2>0，

　　故函數(shù)f(x)在(-2,0)上有且只有一個零點.

　　綜上，函數(shù)f(x)有兩個零點.

　　5.(2013·天津改編)函數(shù)f(x)=2x|log0.5 x|-1的零點個數(shù)為________.

　　答案　2

　　解析　當01時，f(x)=-2xlog0.5x-1=2xlog2x-1，

　　令f(x)=0得log2x=x，

　　由y=log2x，y=x的圖象知在(1，+∞)上有一個交點，即f(x)在(1，+∞)上有一個零點，綜上有兩個零點.

　　6.已知函數(shù)f(x)=則下列關(guān)于函數(shù)y=f(f(x))+1的零點個數(shù)的判斷正確的是________.

　�、佼攌>0時，有3個零點;當k<0時，有2個零點;

　�、诋攌>0時，有4個零點;當k<0時，有1個零點;

　�、蹮o論k為何值，均有2個零點;

　�、軣o論k為何值，均有4個零點.

　　答案�、�

　　解析　當k>0時，f(f(x))=-1，綜合圖(1)分析，

　　則f(x)=t1∈(-∞，-)或f(x)=t2∈(0,1).

　　對于f(x)=t1，存在兩個零點x1，x2;

　　對于f(x)=t2，存在兩個零點x3，x4.

　　此時共計存在4個零點.

　　當k<0時，f(f(x))=-1，結(jié)合圖(2)分析，

　　則f(x)=t∈(0,1)，此時僅有1個零點x0.故②正確.

　　7.已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0，且a≠1)，當20，

　　因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點，故n=2.

　　8.方程2-x+x2=3的實數(shù)解的個數(shù)為________.

　　答案　2

　　解析　方程變形為3-x2=2-x=()x，

　　令y1=3-x2，y2=()x.

　　如圖所示，由圖象可知有2個交點.

　　9.(2014·連云港模擬)已知函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點，則實數(shù)a的取值范圍為________.

　　答案

　　解析　若a=0，則f(x)=2x-3，

　　f(x)=0x=[-1,1]，不合題意，故a≠0.

　　下面就a≠0分兩種情況討論：

　　(1)當f(-1)·f(1)≤0時，f(x)在[-1,1]上至少有一個零點，即(2a-5)(2a-1)≤0，解得≤a≤.

　　(2)當f(-1)·f(1)>0時，f(x)在[-1,1]上有零點的條件是　解得a>.

　　綜上，實數(shù)a的取值范圍為.

　　10.(2014·天津)已知函數(shù)f(x)=

　　若函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為________.

　　答案　10).

　　當a=2時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1=a|x|的圖象有3個交點.故a<2.

　　當y=a|x|(x≤0)與y=|x2+5x+4|相切時，在整個定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1=a|x|的圖象有5個交點，

　　此時，由得x2+(5-a)x+4=0.

　　由Δ=0得(5-a)2-16=0，解得a=1，或a=9(舍去)，

　　則當1-7且b≠-3.

　　∴存在滿足條件的b，且b的取值范圍是(-7，-3)∪(-3，+∞).

　　12.(2014·四川)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù).

　　(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;

　　(2)若f(1)=0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點，證明：e-20，g(1)=e-2a-b>0.

　　由f(1)=0，有a+b=e-1<2，有

　　g(0)=a-e+2>0，g(1)=1-a>0.

　　解得e-2