題型一　對函數(shù)圖象的直接考查

　　例1　函數(shù)y=的圖象大致是________.

　　破題切入點　從函數(shù)定義域入手，考慮函數(shù)變化趨勢，借助特殊值.

　　答案�、�

　　解析　由3x-1≠0得x≠0，∴函數(shù)y=的定義域為{x|x≠0}，可排除①;當x=-1時，y==>0，可排除②;當x=2時，y=1，當x=4時，y=，但從④的函數(shù)圖象可以看出函數(shù)在(0，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，兩者矛盾，可排除④.故③符合要求.

　　題型二　對函數(shù)零點的考查

　　例2　已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f()，當x∈[1,3]時，f(x)=ln x.若在區(qū)間[，3]內(nèi)，函數(shù)g(x)=f(x)-ax與x軸有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是________.

　　破題切入點　求出f(x)在[，3]上的解析式，數(shù)形結(jié)合解決.

　　答案　[，)

　　解析　由題意可知當x在區(qū)間[，1]內(nèi)時，∈[1,3]，f(x)=f()=ln =-ln x，則f(x)=函數(shù)g(x)=f(x)-ax與x軸有三個不同的交點，即f(x)-ax=0有三個不同的根，即f(x)=ax有三個不同的根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax有三個不同的交點，當x在區(qū)間[，1)上時，函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax有一個交點，當x∈[1,3]時，函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax有兩個交點.當直線y=ax過點(3，ln 3)時，a的值滿足ln 3=3a，即a=;當直線y=ax與f(x)相切時，設(shè)切點為(x0，ln x0)，則點(x0，ln x0)在直線上，故ln x0=ax0，而a=(ln x)′|=，所以ln x0=1，x0=e，即a==，函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax有三個不同的交點，則a的取值范圍是[，).

　　題型三　綜合考查函數(shù)圖象

　　例3　已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)=x++2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱.

　　(1)求f(x)的解析式;

　　(2)若g(x)=f(x)·x+ax，且g(x)在區(qū)間[0,2]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

　　破題切入點　(1)根據(jù)對稱性求f(x)的解析式，考查函數(shù)圖象的對稱變換.

　　(2)求出g(x)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)求字母a的取值范圍.

　　解　(1)∵f(x)的圖象與h(x)的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱，設(shè)f(x)圖象上任意一點坐標為B(x，y)，其關(guān)于A(0,1)的對稱點為B′(x′，y′)，則∴

　　∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′=x′++2.

　　∴2-y=-x-+2，

　　∴y=x+，即f(x)=x+.

　　(2)∵g(x)=x2+ax+1，

　　又g(x)在[0,2]上為減函數(shù)，∴-≥2，即a≤-4.

　　∴a的取值范圍為(-∞，-4].

　　總結(jié)提高　(1)求函數(shù)圖象時首先考慮函數(shù)定義域，然后考慮特殊值以及函數(shù)變化趨勢，特殊值首先考慮坐標軸上的點.

　　(2)運用函數(shù)圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達的函數(shù)的性質(zhì).

　　(3)在運用函數(shù)圖象時要避免只看表象不聯(lián)系其本質(zhì)，透過函數(shù)的圖象要看到它所反映的函數(shù)的性質(zhì)，并以此為依據(jù)進行分析、推斷，才是正確的做法.

　　(4)在解決綜合問題時，圖象只能作為分析工具而不能作為解題過程，在應(yīng)用過程中要使圖象盡量準確.

　　1.設(shè)函數(shù)f(x)=則不等式f(x)>f(1)的解集是________.

　　答案　(-3,1)∪(3，+∞)

　　解析

　　畫出分段函數(shù)的圖象如圖，

　　令f(x)=f(1)，得x=-3,1,3.

　　所以當f(x)>f(1)時，必有x∈(-3,1)∪(3，+∞).

　　2.已知函數(shù)y=，將其圖象向左平移a(a>0)個單位，再向下平移b(b>0)個單位后圖象過坐標原點，則ab的值為________.

　　答案　1

　　解析　圖象平移后的函數(shù)解析式為y=-b，

　　由題意知-b=0，∴ab=1.

　　3.(2014·山東改編)已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx，若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________.

　　答案　(，1)

　　解析　先作出函數(shù)f(x)=|x-2|+1的圖象，如圖所示，當直線g(x)=kx與直線AB平行時斜率為1，當直線g(x)=kx過A點時斜率為，故f(x)=g(x)有兩個不相等的實根時，k的范圍為(，1).

　　4.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，則f()的值為________.

　　答案　2

　　解析　由圖象知f(3)=1，

　　∴=1，

　　∴f()=f(1)=2.

　　5.(2014·湖北改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若x∈R，f(x-1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為________.

　　答案　[-，]

　　解析　因為當x≥0時，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，所以當0≤x≤a2時，f(x)=(a2-x+2a2-x-3a2)=-x;

　　當a2x的解集為________________.

　　答案　[-2，-)∪(0，)

　　解析　依題意，畫出y=f(x)與y=x的圖象，如圖所示，注意到y(tǒng)=f(x)的圖象與直線y=x的交點坐標是(，)和(-，-)，結(jié)合圖象可以求得解集為[-2，-)∪(0，).

　　7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：

　�、俸瘮�(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱;

　�、趯�x∈R，f(-x)=f(+x)成立;

　�、郛攛∈(-，-]時，f(x)=log2(-3x+1).

　　則f(2 014)=________.

　　答案　-2

　　解析　由①知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)(通過圖象變換易推出)，由②知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱，即f(-x)=f(+x)，由奇函數(shù)可得f(x)=-f(+x)，據(jù)此可推出f(+x)=-f(3+x)，則有f(x)=f(x+3)，故函數(shù)以3為周期，因此f(2 014)=f(1)=-f(-1)=-log24=-2.

　　8.已知函數(shù)f(x)=x2+1的定義域為[a，b](a2a(x-2)+4.

　　解　(1)b=0，k=f(x)=.

　　(2)設(shè)M(x，y)是曲線y=g(x)上任意一點，由于函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以M(x，y)關(guān)于直線y=x的對稱點M′(y，x)必在曲線y=f(x)上，所以x=，即y=x2，所以g(x)=x2(x≥0)，于是

　　g(x)+g(x-2)>2a(x-2)+4

　　⇔.

　�、偃鬭≤2，則不等式的解集為{x|x>2};

　�、谌鬭>2，則不等式的解集為{x|x>a}.

　　12.已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2.

　　(1)求a，b的值;

　　(2)若b<1，g(x)=f(x)-2mx在[2,4]上單調(diào)，求m的取值范圍.

　　解　(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.

　　①當a>0時，f(x)在[2,3]上為增函數(shù)，

　　故⇒

　�、诋攁<0時，f(x)在[2,3]上為減函數(shù)，

　　故⇒

　　故a=1或a=-1，b=0或b=3.

　　(2)∵b<1，∴a=1，b=0，

　　即f(x)=x2-2x+2，

　　g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2.

　　若g(x)在[2,4]上單調(diào)，則≤2或≥4，

　　∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.

　　故m的取值范圍是(-∞，1]∪[log26，+∞).