題型一 與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題
例1 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的________條件.
破題切入點(diǎn) 周期函數(shù)的概念，同時(shí)考查單調(diào)性及充要條件.
答案 充要
解析�、佟遞(x)在R上是偶函數(shù)，
∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.
∵f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，
∴f(x)為[-1,0]上的減函數(shù).
又∵f(x)的周期為2，
∴f(x)為區(qū)間[-1+4,0+4]=[3,4]上的減函數(shù).
�、凇遞(x)為[3,4]上的減函數(shù)，且f(x)的周期為2，
∴f(x)為[-1,0]上的減函數(shù).
又∵f(x)在R上是偶函數(shù)，
∴f(x)為[0,1]上的增函數(shù).
由①②知“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件.
題型二 與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
例2 設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0，則方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2 011,2 011]上的根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
破題切入點(diǎn) 將條件轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí).
答案 805
解析 f(7-x)=f(7+x)=f(2+(5+x))=f(2-(5+x))=f(-3-x)，
即f(x+10)=f(x)，所以函數(shù)的周期為10，
且對(duì)稱軸為x=2，x=7，在[0,10]內(nèi)，
f(1)=f(3)=f(11)=f(13)，
所以一個(gè)周期內(nèi)只有2個(gè)零點(diǎn)，
在[0,2 011]內(nèi)2 011=201×10+1有201×2+1=403個(gè)，
在[-2 011,0]內(nèi)-2 011=201×(-10)-1，
有201個(gè)周期且f(-1)≠0，此時(shí)有201×2=402個(gè)零點(diǎn)，合計(jì)805.
題型三 與抽象函數(shù)有關(guān)的新概念問(wèn)題
例3 設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合.若映射f：V→R滿足：
對(duì)任意向量a=(x1，y1)∈V，b=(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b)，
則稱映射f具有性質(zhì)P，
現(xiàn)給出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)=x-y，m=(x，y)∈V;
②f2：V→R，f2(m)=x2+y，m=(x，y)∈V;
�、踗3：V→R，f3(m)=x+y+1，m=(x，y)∈V.
其中，具有性質(zhì)P的映射為_(kāi)_______.(寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號(hào))
破題切入點(diǎn) 準(zhǔn)確把握性質(zhì)P的含義.
答案�、佗�
解析 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λa+(1-λ)b=(λx1+(1-λ)x2，λy1+(1-λ)y2).
對(duì)于①，∵f1(m)=x-y，
∴f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]-[λy1+(1-λ)·y2]=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)，
而λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)，
∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b)，
∴①具有性質(zhì)P.
對(duì)于②，f2(m)=x2+y，設(shè)a=(0,0)，b=(1,2)，λa+(1-λ)b=(1-λ，2(1-λ))，f(λa+(1-λ)b)=(1-λ)2+2(1-λ)=λ2-4λ+3，
而λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(02+0)+(1-λ)(12+2)=3(1-λ)，
又λ是任意實(shí)數(shù)，
∴f(λa+(1-λ)b)≠λf(a)+(1-λ)f(b)，
故②不具有性質(zhì)P.
對(duì)于③，f3(m)=x+y+1，
f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]+[λy1+(1-λ)y2]+1
=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1，
又λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)
=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+λ+(1-λ)
=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1，
∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b).
∴③具有性質(zhì)P.
綜上，具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)為①③.
總結(jié)提高 (1)讓抽象函數(shù)不再抽象的方法主要是賦值法和單調(diào)函數(shù)法，因此學(xué)會(huì)賦值、判斷并掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性是必須過(guò)好的兩關(guān)，把握好函數(shù)的性質(zhì).
(2)解答抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往盲目地用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等來(lái)代替函數(shù)來(lái)解答問(wèn)題而導(dǎo)致出錯(cuò)，要明確抽象函數(shù)是具有某些性質(zhì)的一類函數(shù)而不是具體的某一個(gè)函數(shù)，因此掌握這類函數(shù)的關(guān)鍵是把握函數(shù)的性質(zhì)以及賦值的方法.
1.設(shè)f(x)為偶函數(shù)，對(duì)于任意的x>0，都有f(2+x)=-2f(2-x)，已知f(-1)=4，那么f(-3)=________.
答案 -8
解析 ∵f(x)為偶函數(shù)，
∴f(1)=f(-1)=4，f(-3)=f(3)，
當(dāng)x=1時(shí)，f(2+1)=(-2)·f(2-1)，
∴f(3)=(-2)×4=-8，∴f(-3)=-8.
2.對(duì)于函數(shù)y=f(x)，x∈R，“y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的________條件.
答案 必要不充分
解析 若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x).此時(shí)|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|，因此y=|f(x)|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但當(dāng)y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，未必能推出y=f(x)為奇函數(shù)，故“y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的必要不充分條件.
3.若f(x)為奇函數(shù)，且在(-∞，0)內(nèi)是增函數(shù)，又f(-2)=0，則xf(x)<0的解集為_(kāi)_______.
答案 (-2,0)∪(0,2)
解析 因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，且f(-2)=0，
所以f(2)=0.
作出f(x)大致圖象，如圖所示，由圖象可知：
當(dāng)-20，
所以xf(x)<0;
當(dāng)00)，其圖象如圖所示，則方程f(g(x))=0根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
答案 6
解析 由f(x)的圖象可知方程f(x)=0有三個(gè)根，分別設(shè)為x1，x2，x3，因?yàn)閒(g(x))=0，所以g(x)=x1，g(x)=x2或g(x)=x3，因?yàn)?aa>0，c>b>0.
(1)記集合M={(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a=b}，則(a，b，c)∈M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi)_______.
(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是____________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
�、賦∈(-∞，1)，f(x)>0;
②x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng);
③若△ABC為鈍角三角形，則x∈(1,2)，使f(x)=0.
答案 (1){x|0a>0，c>b>0，a=b且a，b，c不能構(gòu)成三角形的三邊，
∴0<2a≤c，∴≥2.
令f(x)=0得2ax=cx，即x=2.
∴x=log2.∴=log2≥1.
∴0c.
∵c>a>0，c>b>0，∴0<<1,0<<1.
∴當(dāng)x∈(-∞，1)時(shí)，
f(x)=ax+bx-cx=cx
>cx=cx·>0.
∴x∈(-∞，1)，f(x)>0.故①正確.
�、诹頰=2，b=3，c=4，則a，b，c可以構(gòu)成三角形.
但a2=4，b2=9，c2=16卻不能構(gòu)成三角形，故②正確.
�、邸遚>a，c>b，且△ABC為鈍角三角形，
∴a2+b2-c2<0，
又f(1)=a+b-c>0，f(2)=a2+b2-c2<0，
∴函數(shù)f(x)在(1,2)上存在零點(diǎn)，故③正確.
11.已知定義在區(qū)間(0，+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f()=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)若f(3)=-1，解不等式f(|x|)<-2.
解 (1)令x1=x2>0，
代入得f(1)=f(x1)-f(x2)=0，故f(1)=0.
(2)任取x1、x2∈(0，+∞)，且x1>x2，則>1.
∵當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.
∴f()<0，即f(x1)-f(x2)<0，有f(x1)9，∴x<-9或x>9，
∴不等式的解集為{x|x<-9或x>9}.
12.設(shè)集合Pn={1,2，…，n}，n∈N*，記f(n)為同時(shí)滿足下列條件的集合A的個(gè)數(shù)：
�、貯Pn;②若x∈A，則2xA;
③若x∈PnA，則2xPnA.
(1)求f(4);
(2)求f(n)的解析式(用n表示).
解 (1)當(dāng)n=4時(shí)，符合條件的集合A為：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)=4.
(2)任取偶數(shù)x∈Pn，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2，…，經(jīng)過(guò)k次以后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，于是x=m·2k，其中m為奇數(shù)，k∈N*.
由條件知，若m∈A，則x∈Ak為偶數(shù);
若mA，則x∈Ak為奇數(shù).
于是x是否屬于A由m是否屬于A確定.
設(shè)Qn是Pn中所有奇數(shù)的集合，因此f(n)等于Qn的子集個(gè)數(shù).
當(dāng)n為偶數(shù)(或奇數(shù))時(shí)，Pn中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是，
所以f(n)=
