題型一　分段函數(shù)的值域問(wèn)題

　　例1　函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開(kāi)_______.

　　破題切入點(diǎn)　求各段值域，然后求并集.

　　答案　(-∞，2)

　　解析　因?yàn)楫?dāng)x≥1時(shí)，f(x)=log2=-log2x≤0，

　　當(dāng)x<1時(shí)，02時(shí)，f(x)+b=0有四個(gè)根，滿足題意，所以b<-2.

　　題型三　分段函數(shù)的綜合性問(wèn)題

　　例3　已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).

　　(1)求實(shí)數(shù)m的值;

　　(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　破題切入點(diǎn)　分段函數(shù)奇偶性的概念，結(jié)合圖象分類討論.

　　解　(1)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

　　∴f(-x)=-f(x).

　　當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，有(-x)2-mx=-(-x2+2x)，

　　即x2-mx=x2-2x.

　　∴m=2.

　　(2)由(1)知f(x)=

　　當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1，

　　∴當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減;

　　當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.

　　當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2+2x=(x+1)2-1，

　　∴當(dāng)x∈(-∞，-1]時(shí)，f(x)單調(diào)遞減;

　　當(dāng)x∈[-1,0)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.

　　綜上知：函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.

　　又函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增.

　　∴解之得11時(shí)，1-log2x≤2，解得x≥，

　　所以x>1.綜上可知x≥0.

　　2.已知函數(shù)f(x)=是(-∞，+∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是________.

　　答案　(0,2]

　　解析　由題意，得解得02;

　　由x≥g(x)得x≥x2-2，∴-1≤x≤2.

　　∴f(x)=

　　即f(x)=

　　當(dāng)x<-1時(shí)，f(x)>2;當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>8.

　　∴當(dāng)x∈(-∞，-1)∪(2，+∞)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?2，+∞).

　　當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，-≤f(x)≤0.

　　∴當(dāng)x∈[-1,2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇-，0].

　　綜上可知，f(x)的值域?yàn)閇-，0]∪(2，+∞).

　　4.已知f(x)= 則下列函數(shù)的圖象錯(cuò)誤的是________.

　　答案�、�

　　解析　先在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象，再將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)=f(x-1)的圖象，因此①正確;作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，即可得到y(tǒng)=f(-x)的圖象，因此②正確;y=f(x)的值域是[0,2]，因此y=|f(x)|的圖象與y=f(x)的圖象重合，③正確;y=f(|x|)的定義域是[-1,1]，且是一個(gè)偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y=f(|x|)=，相應(yīng)這部分圖象不是一條線段，因此④不正確.

　　5.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(m)>f(-m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

　　答案　(-∞，-1)∪(0,1)

　　解析　若m>0，則-m<0，f(m)==-log2m，f(-m)=log2m，由f(m)>f(-m)，得-log2m>log2m，即log2m<0,00，f(-m)=log (-m)=-log2(-m)，f(m)=log2(-m)，由f(m)>f(-m)得log2(-m)>-log2(-m)，解得m<-1.

　　6.對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：ab=設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)(x-x2)，x∈R.若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是____________________.

　　答案　(-∞，-2]∪(-1，-)

　　解析　f(x)=

　　即f(x)=

　　f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知c的取值范圍為

　　(-∞，-2]∪(-1，-).

　　7.已知函數(shù)f(x)=則f(-3)的值為_(kāi)_______.

　　答案　2

　　解析　f(-3)=f(-1)+1=f(1)+2=2.

　　8.已知函數(shù)f(x)=若f(f(1))>3a2，則a的取值范圍是________.

　　答案　-13a2⇔6a+9>3a2，解得-10.

　　因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥

　　=1.

　　(當(dāng)且僅當(dāng)-(2x1+2)=2x2+2=1，

　　即x1=-且x2=-時(shí)等號(hào)成立)

　　所以，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A、B處的切線互相垂直時(shí)，有x2-x1≥1.

　　(3)解　當(dāng)x1x1>0時(shí)，

　　f′(x1)≠f′(x2)，

　　故x1<00時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x2，f(x2))處的切線方程為

　　y-ln x2=(x-x2)，即y=·x+ln x2-1.

　　兩切線重合的充要條件是

　　由①及x1<0h(2)=-ln 2-1，所以a>-ln 2-1.

　　而當(dāng)t∈(0,2)且t趨近于0時(shí)，h(t)無(wú)限增大，

　　所以a的取值范圍是(-ln 2-1，+∞)，

　　故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A、B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍為(-ln 2-1，+∞).

　　12.(2013·湖南)已知a>0，函數(shù)f(x)=.

　　(1)記f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式;

　　(2)是否存在a，使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直?若存在，求a的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　解　(1)當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f(x)=;

　　當(dāng)x>a時(shí)，f(x)=.

　　因此，

　　當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)=<0，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減;

　　當(dāng)x∈(a，+∞)時(shí)，f′(x)=>0，f(x)在(a，+∞)上單調(diào)遞增.

　�、偃鬭≥4，則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，g(a)=f(0)=.

　�、谌�0