題型一　直接考查函數(shù)的性質(zhì)

　　例1　 “a≤0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的________條件.

　　破題切入點　首先找出f(x)在(0，+∞)遞增的等價條件，然后從集合的觀點來研究充要條件.

　　答案　充要

　　解析　當(dāng)a=0時，f(x)=|(ax-1)x|=|x|在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增;

　　當(dāng)a<0時，結(jié)合函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的圖象知函數(shù)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，如圖(1)所示;

　　當(dāng)a>0時，結(jié)合函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的圖象知函數(shù)在(0，+∞)上先增后減再增，不符合條件，如圖(2)所示.

　　所以，要使函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在(0，+∞)上單調(diào)遞增只需a≤0.

　　即“a≤0”是“函數(shù)f(x)=|(ax-1)x|在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件.

　　題型二　函數(shù)性質(zhì)與其他知識結(jié)合考查

　　例2　函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得==…=，則n的取值范圍為________.

　　破題切入點　從已知的比值相等這一數(shù)量關(guān)系出發(fā)，找圖象上的表示形式，再找與原函數(shù)圖象的關(guān)系，進一步判斷出結(jié)果.

　　答案　{2,3,4}

　　解析　過原點作直線與函數(shù)y=f(x)的圖象可以有兩個、三個、四個不同的交點，因此n的取值范圍是{2,3,4}.

　　題型三　對函數(shù)性質(zhì)的綜合考查

　　例3　已知函數(shù)f(x)=x2+aln x.

　　(1)當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

　　(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+在[1，+∞)上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍.

　　破題切入點　(1)直接根據(jù)f′(x)<0確定單調(diào)遞減區(qū)間.

　　(2)g(x)在[1，+∞)上單調(diào)，則g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1，+∞)上恒成立.

　　解　(1)由題意知，函數(shù)的定義域為(0，+∞)，

　　當(dāng)a=-2時，f′(x)=2x-=，

　　故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

　　(2)由題意得g′(x)=2x+-，函數(shù)g(x)在[1，+∞)上是單調(diào)函數(shù).

　�、偃鬵(x)為[1，+∞)上的單調(diào)增函數(shù)，則g′(x)≥0在[1，+∞)上恒成立，

　　即a≥-2x2在[1，+∞)上恒成立，

　　設(shè)φ(x)=-2x2，

　　∵φ(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞減，

　　∴φ(x)max=φ(1)=0，∴a≥0.

　�、谌鬵(x)為[1，+∞)上的單調(diào)減函數(shù)，

　　則g′(x)≤0在[1，+∞)上恒成立，不可能.

　　∴實數(shù)a的取值范圍為[0，+∞).

　　總結(jié)提高　(1)函數(shù)單調(diào)性的等價結(jié)論：設(shè)x1、x2∈[a，b]則(x1-x2) [f(x1)-f(x2)]>0>0⇔f(x)在[a，b]上遞增.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0<0⇔f(x)在[a，b]上遞減.

　　(2)判斷單調(diào)性時還可根據(jù)四則運算法則：若f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則f(x)+g(x)也是增函數(shù)，-f(x)是減函數(shù)，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性根據(jù)內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)同增異減的法則.

　　(3)求函數(shù)的單調(diào)性問題還可以求導(dǎo).

　　(4)函數(shù)奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱.

　　(5)任何一個函數(shù)都可以寫成一個奇函數(shù)加上一個偶函數(shù).

　　如f(x)=+，為偶函數(shù)，而為奇函數(shù).

　　(6)求函數(shù)的單調(diào)性要注意先研究定義域.

　　1.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=-a，則f(log3)=________.

　　答案

　　解析　由題意，可知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

　　所以f(0)=-a=0，

　　解得a=，所以當(dāng)x≥0時，

　　f(x)=-.

　　所以f(log32)=-

　　=-=-.

　　從而f(log3)=f(-log32)

　　=-f(log32)=.

　　2.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x)，當(dāng)-3≤x<-1時，f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x<3時，f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 013)=________.

　　答案　337

　　解析　∵f(x+6)=f(x)，∴T=6.

　　∵當(dāng)-3≤x<-1時，f(x)=-(x+2)2，

　　當(dāng)-1≤x<3時，f(x)=x，

　　∴f(1)=1，f(2)=2，f(3)=f(-3)=-1，

　　f(4)=f(-2)=0，f(5)=f(-1)=-1，

　　f(6)=f(0)=0，

　　∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1，

　　∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)

　　=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1，

　　∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1×=335.

　　而f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)

　　=f(1)+f(2)+f(3)=2，

　　∴f(1)+f(2)+…+f(2 013)=335+2=337.

　　3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x2，若對任意的x∈[-2-，2+]，不等式f(x+t)≤2f(x)恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是________.

　　答案　(-∞，-]

　　解析　設(shè)x<0，則-x>0.

　　f(-x)=(-x)2，

　　又∵f(x)是奇函數(shù)，

　　∴f(x)=-x2.

　　∴f(x)在R上為增函數(shù)，且2f(x)=f(x).

　　∴f(x+t)≤2f(x)=f(x)x+t≤x在[-2-，2+]上恒成立，

　　∵x+t≤x(-1)x≥t，

　　要使原不等式恒成立，只需(-1)(-2-)≥t

　　t≤-即可.

　　4.(2013·天津改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(log2a)+f(loga)≤2f(1)，則a的取值范圍是________.

　　答案

　　解析　由題意知a>0，又loga=log2a-1=-log2a.

　　∵f(x)是R上的偶函數(shù)，

　　∴f(log2a)=f(-log2a)=f(loga)，

　　∵f(log2a)+f(loga)≤2f(1)，

　　∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1).

　　又∵f(x)在[0，+∞)上遞增，

　　∴|log2a|≤1，-1≤log2a≤1，

　　∴a∈.

　　5.函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x∈(-∞，0)時，f(x)+xf′(x)<0成立，若a=20.2·f(20.2)，b=ln 2·f(ln 2)，c=(log)·f(log)，則a，b，c的大小關(guān)系是________.

　　答案　b>a>c

　　解析　因為函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

　　所以y=f(x)關(guān)于y軸對稱.

　　所以函數(shù)y=xf(x)為奇函數(shù).

　　因為[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)，

　　所以當(dāng)x∈(-∞，0)時，[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0，

　　函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞減，

　　從而當(dāng)x∈(0，+∞)時，函數(shù)y=xf(x)單調(diào)遞減.

　　因為1<20.2<2,0a>c.

　　6.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足以下三個條件：

　　①對于任意的x∈R，都有f(x+4)=f(x);

　　②對于任意的x1，x2∈R，且0≤x1

　　③函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對稱.

　　則f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小關(guān)系是______________.

　　答案　f(4.5)

　　解析　由已知得f(x)是以4為周期且關(guān)于直線x=2對稱的函數(shù).

　　所以f(4.5)=f(4+)=f()，

　　f(7)=f(4+3)=f(3)，

　　f(6.5)=f(4+)=f().

　　又f(x)在[0,2]上為增函數(shù).

　　所以作出其在[0,4]上的圖象知

　　f(4.5)

　　7.已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)=log8(x+1)，則f(-2 013)+f(2 014)的值為________.

　　答案

　　解析　當(dāng)x≥0時，有f(x+2)=-f(x)，

　　故f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x).

　　由函數(shù)f(x)在R上為偶函數(shù)，

　　可得f(-2 013)=f(2 013)，

　　故f(2 013)=f(4×503+1)=f(1)，

　　f(2 014)=f(4×503+2)=f(2).

　　而f(1)=log8(1+1)=log82=，

　　f(2)=f(0+2)=-f(0)=-log81=0.

　　所以f(-2 013)+f(2 014)=.

　　8.對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}=設(shè)函數(shù)f(x)=-x+3，g(x)=log2x，則函數(shù)h(x)=min{f(x)，g(x)}的最大值是________.

　　答案　1

　　解析　依題意，h(x)=

　　當(dāng)02時，h(x)=3-x是減函數(shù)，

　　∴h(x)在x=2時，取得最大值h(2)=1.

　　9.(2013·江蘇)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時，f(x)=x2-4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________________.

　　答案　(-5,0)∪(5，+∞)

　　解析　由已知得f(0)=0，當(dāng)x<0時，f(x)=-f(-x)=-x2-4x，因此f(x)=

　　不等式f(x)>x等價于或，

　　解得：x>5或-50時，f(x)>1.

　　(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù);

　　(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3.

　　(1)證明　方法一　設(shè)x10，∴f(Δx)>1，

　　∴f(x2)=f(x1+Δx)=f(x1)+f(Δx)-1>f(x1)，

　　∴f(x)是R上的增函數(shù).

　　方法二　∵f(0+0)=f(0)+f(0)-1，∴f(0)=1，

　　∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1，

　　∴f(-x)=2-f(x).設(shè)x10，

　　∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1

　　=f(x2)+2-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1>1，

　　∴f(x2)-f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，

　　∴f(x)是R上的增函數(shù).

　　(2)解　f(4)=f(2)+f(2)-1=5，∴f(2)=3，

　　∴f(3m2-m-2)<3=f(2).

　　又由(1)的結(jié)論知f(x)是R上的增函數(shù)，

　　∴3m2-m-2<2，∴-10，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

　　(2)若ab<0，求f(x+1)>f(x)時x的取值范圍.

　　解　(1)當(dāng)a>0，b>0時，任意x1，x2∈R，x10a(2-2)<0，

　　3<3，b>0b(3-3)<0，

　　∴f(x1)-f(x2)<0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).

　　當(dāng)a<0，b<0時，同理，函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).

　　(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0，

　　當(dāng)a<0，b>0時，x>-，

　　則x>log1.5;

　　當(dāng)a>0，b<0時，x<-，則x0時，x∈(log1.5(-)，+∞);

　　a>0，b<0時，x∈(-∞，log1.5(-)).