題型一　指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

　　例1　已知函數(shù)f(x)=2|2x-m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，+∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________.

　　破題切入點　判斷函數(shù)t=|2x-m|的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)y=2t的單調(diào)性，得m的不等式，求解即可.

　　答案　(-∞，4]

　　解析　令t=|2x-m|，則t=|2x-m|在區(qū)間[，+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-∞，]上單調(diào)遞減.而y=2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)=2|2x-m|在[2，+∞)上單調(diào)遞增，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(-∞，4].故填(-∞，4].

　　題型二　對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

　　例2　已知f(x)=logax(a>0且a≠1)，如果對于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，則a的取值范圍是________.

　　破題切入點　要對字母a進(jìn)行分類討論.

　　答案　(0，]∪[3，+∞)

　　解析　∵f(x)=logax，

　　當(dāng)00，

　　當(dāng)a>1時，|f()|-|f(2)|

　　=-loga-loga2

　　=-loga>0，

　　∴|f()|>|f(2)|總成立.

　　要使x∈[，2]時恒有|f(x)|≤1，

　　只需|f()|≤1，即-1≤loga≤1，

　　即logaa-1≤loga≤logaa，

　　亦當(dāng)a>1時，得a-1≤≤a，即a≥3;

　　當(dāng)00且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定有________.

　　答案　01時，不論上下怎樣平移，圖象必過第一象限.

　　∵y=ax+b-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，

　　∴只可能0b>c

　　解析　因為a=log36=1+log32=1+，b=log510=1+log52=1+，c=log714=1+log72=1+，顯然a>b>c.

　　3.若函數(shù)f(x)=logax(00

　　解析　當(dāng)x>0時，f(x)=()x-log3x是減函數(shù)，

　　又x0是方程f(x)=0的根，即f(x0)=0.

　　∴當(dāng)0f(x0)=0.

　　10.(2014·南京模擬)定義兩個實數(shù)間的一種新運(yùn)算“*”：x*y=ln(ex+ey)，x，y∈R.當(dāng)x*x=y時，x=.對任意實數(shù)a，b，c，給出如下命題：

　�、賏*b=b*a;

　　②(a*b)+c=(a+c)*(b+c);

　�、�(a*b)-c=(a-c)*(b-c);

　　④(a*b)*c=a*(b*c);

　�、荨�.

　　其中正確的命題有________.(寫出所有正確的命題序號)

　　答案�、佗冖邰堍�

　　解析　因為a*b=ln(ea+eb)，b*a=ln(eb+ea)，

　　所以a*b=b*a，即①對;

　　因為(a*b)+c=ln(ea+eb)+c=ln[(ea+eb)ec]

　　=ln(ea+c+eb+c)=(a+c)*(b+c)，所以②對;

　　只需令②中的c為-c，即有結(jié)論(a*b)-c=(a-c)*(b-c)，所以③對;

　　因為(a*b)*c=[ln(ea+eb)]*c=ln[+ec]

　　=ln(ea+eb+ec)，

　　a*(b*c)=a*[ln(eb+ec)]=ln[ea+]

　　=ln(ea+eb+ec)，

　　所以(a*b)*c=a*(b*c)，即④對;

　　設(shè)=x，則x*x=a*b，

　　所以ln(ex+ex)=ln(ea+eb)，

　　所以2×ex=ea+eb，

　　所以x=ln ，即=ln ≥ln =，故⑤對.

　　故正確的命題是①②③④⑤.

　　11.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).

　　(1)當(dāng)a=1，b=-2時，求函數(shù)f(x)的零點;

　　(2)若對任意b∈R，函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍.

　　解　(1)當(dāng)a=1，b=-2時，f(x)=x2-2x-3，

　　令f(x)=0，得x=3或x=-1.

　　所以，函數(shù)f(x)的零點為3和-1.

　　(2)依題意，方程ax2+bx+b-1=0有兩個不同實根.

　　所以，b2-4a(b-1)>0恒成立，

　　即對于任意b∈R，b2-4ab+4a>0恒成立，

　　所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0，所以00)，n為正整數(shù)，a，b為常數(shù).曲線y=f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x+y=1.

　　(1)求a，b的值;

　　(2)求函數(shù)f(x)的最大值.

　　解　(1)因為f(1)=b，由點(1，b)在x+y=1上，

　　可得1+b=1，即b=0.

　　因為f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn，所以f′(1)=-a.

　　又因為切線x+y=1的斜率為-1，

　　所以-a=-1，即a=1.故a=1，b=0.

　　(2)由(1)知，f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1，

　　f′(x)=(n+1)xn-1.

　　令f′(x)=0，解得x=，

　　在上，f′(x)>0，

　　故f(x)單調(diào)遞增;

　　而在上，f′(x)<0，

　　故f(x)單調(diào)遞減.

　　故f(x)在(0，+∞)上的最大值為

　　f=n·=.