題型一　不等式組所確定的區(qū)域問題

　　例1　已知點M(x，y)的坐標滿足不等式組則此不等式組確定的平面區(qū)域的面積S的大小是________.

　　破題切入點　先畫出點M(x，y)的坐標滿足的可行域，再研究圖形的形狀特征，以便求出其面積.

　　答案　1

　　解析　作出不等式組

　　表示的平面區(qū)域，

　　如圖所示，則此平面區(qū)域為△ABC及其內(nèi)部，且點A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S=×2×1=1.

　　題型二　求解目標函數(shù)在可行域中的最值問題

　　例2　若變量x，y滿足約束條件則z=2x+y的最大值與最小值的和為________.

　　破題切入點　先根據(jù)已知約束條件畫出可行域，再利用目標函數(shù)z=2x+y的幾何意義，即可求得最大值與最小值.

　　答案　6

　　解析

　　畫出可行域，如圖所示，由圖象，

　　可得當y=-2x+z經(jīng)過點B(2,0)時，zmax=4;

　　當y=-2x+z經(jīng)過點A(1,0)時，zmin=2.故填6.

　　題型三　利用線性規(guī)劃求解實際應(yīng)用題

　　例3　某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900人旅行，A，B兩種客車的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為________元.

　　破題切入點　設(shè)租用A，B兩種型號的客車分別為x輛，y輛，總租金為z元，可得目標函數(shù)z=1 600x+2 400y.結(jié)合題意，建立關(guān)于x，y的不等式組，計算A，B型號客車的人均租金，可得租用B型車的成本比A型車低，因此在滿足不等式組的情況下盡可能多地租用B型車，可使總租金最低.

　　答案　36 800

　　解析　設(shè)租用A，B兩種型號的客車分別為x輛，y輛，

　　所用的總租金為z元，則z=1 600x+2 400y，

　　其中x，y滿足不等式組(x，y∈N)

　　畫出可行域，可知在x=5，y=12時，

　　可載客36×5+60×12=900(人)，

　　符合要求且此時的總租金z=1 600×5+2 400×12=36 800，達到最小值.

　　題型四　簡單線性規(guī)劃與其他知識的綜合性問題

　　例4　設(shè)變量x，y滿足約束條件則lg(y+1)-lg x的取值范圍為________.

　　破題切入點　先畫出不等式組所確定的可行域，將目標函數(shù)化為lg ，利用數(shù)形結(jié)合的方法解t=的最值，然后確定目標函數(shù)的最值，從而求其范圍.

　　答案　[0,1-2lg 2]

　　解析　如圖所示，作出不等式組確定的可行域.

　　因為lg(y+1)-lg x

　　=lg ，設(shè)t=，

　　顯然，t的幾何意義是可行域內(nèi)的點P(x，y)與定點E(0，-1)連線的斜率.

　　由圖，可知點P在點B處時，t取得最小值;

　　點P在點C處時，t取得最大值.

　　由解得即B(3,2);

　　由解得即C(2,4).

　　故t的最小值為kBE==1，

　　t的最大值為kCE==，

　　所以t∈[1，].

　　又函數(shù)y=lg x為(0，+∞)上的增函數(shù)，

　　所以lg t∈[0，lg ]，

　　即lg(y+1)-lg x的取值范圍為[0，lg ].

　　而lg =lg 5-lg 2=1-2lg 2，

　　所以lg(y+1)-lg x的取值范圍為[0,1-2lg 2].

　　總結(jié)提高　(1)準確作出不等式組所確定的平面區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ).

　　(2)求解線性目標函數(shù)的最大值或最小值時，一般思路是先作出目標函數(shù)對應(yīng)的過原點的直線y=kx，再平移此直線.

　　(3)求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)出未知數(shù);②列出線性約束條件;③建立目標函數(shù);④求出最優(yōu)解;⑤轉(zhuǎn)化為實際問題.

　　1.實數(shù)x，y滿足則不等式組所圍成圖形的面積為________.

　　答案　1

　　解析　實數(shù)x，y滿足

　　它表示的可行域如圖所示.

　　不等式組所圍成的圖形是三角形，其三個頂點的坐標分別為(1,0)，(0,1)，(2,1)，

　　所以所圍成圖形的面積為×2×1=1.

　　2.已知O是坐標原點，點A(-1，1)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是________.

　　答案　[0,2]

　　解析　作出可行域，如圖所示，由題意·=-x+y.

　　設(shè)z=-x+y，作l0：x-y=0，易知，過點(1,1)時z有最小值，zmin=-1+1=0;過點(0,2)時z有最大值，zmax=0+2=2，∴·的取值范圍是[0,2].

　　3.若變量x，y滿足約束條件且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m-n=________.

　　答案　6

　　解析　畫出可行域，如圖陰影部分所示.

　　由z=2x+y，得y=-2x+z.

　　由得

　　∴A(-1，-1).

　　由得

　　∴B(2，-1).

　　當直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，zmin=2×(-1)-1=-3=n.當直線y=-2x+z經(jīng)過點B時，zmax=2×2-1=3=m，故m-n=6.

　　4.設(shè)m>1，在約束條件下，目標函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為________.

　　答案　(1,1+)

　　解析

　　變形目標函數(shù)為y=-x+，由于m>1，所以-1<-<0，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，只有直線y=-x+在y軸上的截距最大時，目標函數(shù)取得最大值.顯然在點A處取得最大值，由得交點A，所以目標函數(shù)的最大值是+<2，即m2-2m-1<0，

　　解得1-0，所以d∈[1，).

　　6.設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x0-2y0=2，則m的取值范圍是________.

　　答案　(-∞，-)

　　解析　問題等價于直線x-2y=2與不等式組所表示的平面區(qū)域存在公共點，由于點(-m，m)不可能在第一和第三象限，而直線x-2y=2經(jīng)過第一、三、四象限，則點(-m，m)只能在第四象限，可得m<0，不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，要使直線x-2y=2與陰影部分有公共點，則點(-m，m)在直線x-2y-2=0的下方，故-m-2m-2>0，即m<-.

　　7.設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z=3x-4y的最大值為________.

　　答案　3

　　解析　如圖所示，作出不等式組所表示的可行域，故當直線y=x-z在x軸上的截距取得最大值時，目標函數(shù)取得最大值.由圖，可知當y=x-z經(jīng)過點C時z取得最大值，由解得即C(5,3)，故目標函數(shù)的最大值為z=3×5-4×3=3.

　　8.已知不等式組表示的平面區(qū)域為Ω，其中k≥0，則當Ω的面積取得最小值時，k的值為________.

　　答案　1

　　解析　依題意作圖，如圖所示，要使平面區(qū)域Ω的面積最小，即使S△OAD+S△OBC最小，又直線x+y+2=0與y軸的交點的坐標為A(0，-2)，直線x+y+2=0與y=kx的交點的坐標為D(-，-)，直線y=kx與x=1的交點的坐標為C(1，k)，k≥0，

　　所以S△OAD+S△OBC=|OA|·|xD|+|OB|·|yC|=+·k=++-=+-≥2-=，當且僅當=時取等號，即k=1或k=-3(舍去).

　　所以滿足條件的k的值為1.

　　9.4件A商品與5件B商品的價格之和不小于20元，而6件A商品與3件B商品的價格之和不大于24，則買3件A商品與9件B商品至少需要________元.

　　答案　22

　　解析　設(shè)1件A商品的價格為x元，1件B商品的價格為y元，買3件A商品與9件B商品需要z元，則z=3x+9y，其中x，y滿足不等式組作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(，).

　　當y=-x+z經(jīng)過點C時，目標函數(shù)z取得最小值.

　　所以zmin=3×+9×=22.

　　因此當1件A商品的價格為元，1件B商品的價格為元時，可使買3件A商品與9件B商品的費用最少，最少費用為22元.

　　10.設(shè)x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z=abx+y(a>0，b>0)的最大值為8，則a+b的最小值為________.

　　答案　4

　　解析　由z=abx+y，得y=-abx+z，所以直線的斜率為-ab<0，作出可行域，如圖，由圖象，可知當y=-abx+z經(jīng)過點B時，z取得最大值.

　　由得

　　即B(1,4)，代入z=abx+y=8，得ab+4=8，即ab=4，所以a+b≥2=4，當且僅當a=b=2時取等號，所以a+b的最小值為4.

　　11.給定區(qū)域D：令點集T={(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定________條不同的直線.

　　答案　6

　　解析　線性區(qū)域為圖中陰影部分，取得最小值時點為(0,1)，最大值時點為(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可確定6條.

　　12.(2014·鹽城模擬)已知t是正實數(shù)，如果不等式組表示的區(qū)域內(nèi)存在一個半徑為1的圓，則t的最小值為________.

　　答案　2+2

　　解析　畫出不等式組表示的平面區(qū)域，當t是正實數(shù)時，所表示的區(qū)域為第一象限的一個等腰直角三角形.依題意，它有一個半徑為1的內(nèi)切圓，不妨設(shè)斜邊|OB|=t，則兩直角邊長|AB|=|OA|=t，所以=1，求得t==2+2，即tmin=2+2.