題型一 利用基本不等式求解最大值、最小值問(wèn)題
例1 (1)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2-3xy+4y2-z=0，則當(dāng)取得最小值時(shí)，x+2y-z的最大值為_(kāi)_______.
(2)函數(shù)y=的最大值為_(kāi)_______.
破題切入點(diǎn) (1)利用基本不等式確定取得最小值時(shí)x，y，z之間的關(guān)系，進(jìn)而可求得x+2y-z的最大值.
(2)可采用換元法，將函數(shù)解析式進(jìn)行變形，利用基本不等式求解最值.
答案 (1)2 (2)
解析 (1)==+-3≥2-3=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立，
因此z=4y2-6y2+4y2=2y2，
所以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.
(2)令t= ≥0，則x=t2+1，
所以y==.
當(dāng)t=0，即x=1時(shí)，y=0;
當(dāng)t>0，即x>1時(shí)，y=，
因?yàn)閠+≥2=4(當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào))，
所以y=≤，
即y的最大值為(當(dāng)t=2，即x=5時(shí)y取得最大值).
題型二 利用基本不等式求最值的綜合性問(wèn)題
例2 如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，)到拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m，n)在直線OM上.
(1)求曲線C的方程及t的值;
(2)記d=，求d的最大值.
破題切入點(diǎn) (1)依條件，構(gòu)建關(guān)于p，t的方程;
(2)建立直線AB的斜率k與線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，并表示弦AB的長(zhǎng)度，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求d的最大值.
解 (1)y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線x=-，
∴1-(-)=，p=，
∴拋物線C的方程為y2=x.
又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，∴t=1.
(2)由(1)知，點(diǎn)M(1,1)，從而n=m，即點(diǎn)Q(m，m)，
依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，
設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0).
且A(x1，y1)，B(x2.y2)，
由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2，
故k·2m=1，
所以直線AB的方程為y-m=(x-m)，
即x-2my+2m2-m=0.
由消去x，
整理得y2-2my+2m2-m=0，
所以Δ=4m-4m2>0，y1+y2=2m，y1y2=2m2-m.
從而|AB|= ·|y1-y2|
=·
=2
∴d==2≤m+(1-m)=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1-m，即m=時(shí)，上式等號(hào)成立.
又m=滿足Δ=4m-4m2>0，∴d的最大值為1.
總結(jié)提高 (1)利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最大值、最小值時(shí)，注意觀察其是否具有“和為定值”或“積為定值”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).在具體題目中，一般很少直接考查基本不等式的應(yīng)用，而是需要將式子進(jìn)行變形，尋求其中的內(nèi)在關(guān)系，然后利用基本不等式求出最值.
(2)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件.若連續(xù)使用基本不等式求最值，必須保證兩次等號(hào)成立的條件一致，否則最值就取不到.
1.小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a=0，∴v>a.
2.若函數(shù)f(x)=x+ (x>2)在x=a處取最小值，則a=________.
答案 3
解析 ∵x>2，∴f(x)=x+=x-2++2
≥2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x-2=，即x=3時(shí)等號(hào)成立，即a=3，f(x)min=4.
3.(2014·南通模擬)設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則+的最小值為_(kāi)_______.
答案 4
解析 因?yàn)?a·3b=3，所以a+b=1.
+=(a+b)=2++
≥2+2 =4，當(dāng)且僅當(dāng)=，
即a=b=時(shí)等號(hào)成立.
4.已知m=a+(a>2)，n=x-2(x≥)，則m與n之間的大小關(guān)系為_(kāi)_______.
答案 m≥n
解析 m=a+=(a-2)++2≥4(a>2)，
當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，等號(hào)成立.由x≥得x2≥，
∴n=x-2=≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.
5.已知正數(shù)x，y滿足x+2≤λ(x+y)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為_(kāi)_______.
答案 2
解析 ∵x>0，y>0，
∴x+2y≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)).
又由x+2≤λ(x+y)可得λ≥，
而≤=2，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，max=2.
∴λ的最小值為2.
6.已知a>0，b>0，若不等式--≤0恒成立，則m的最大值為_(kāi)_______.
答案 16
解析 因?yàn)閍>0，b>0，所以由--≤0恒成立得m≤(+)(3a+b)=10++恒成立.
因?yàn)?≥2 =6，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，所以10++≥16，
所以m≤16，即m的最大值為16.
7.若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是________.
答案 18
解析 ∵x>0，y>0,2x+y+6=xy，
∴2+6≤xy，即xy-2-6≥0，
解得xy≥18.
∴xy的最小值是18.
8.已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab是偶函數(shù)，則f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為_(kāi)_______.
答案 16
解析 根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可得ab-a-4b=0，函數(shù)f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為ab.由ab-a-4b=0，得ab=a+4b≥4，解得ab≥16(當(dāng)且僅當(dāng)a=8，b=2時(shí)等號(hào)成立)，即f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為16.
9.若對(duì)任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是________.
答案
解析 ∵a≥=對(duì)任意x>0恒成立，設(shè)u=x++3，∴只需a≥恒成立即可.
∵x>0，∴u≥5(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)).
由u≥5知0<≤，∴a≥.
10.(1)已知0-1)的最小值.
解 (1)y=2x-5x2=x(2-5x)=·5x·(2-5x).
∵00，
∴5x(2-5x)≤()2=1，
∴y≤，當(dāng)且僅當(dāng)5x=2-5x，即x=時(shí)，ymax=.
(2)設(shè)x+1=t，則x=t-1(t>0)，
∴y=
=t++5≥2 +5=9.
當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=2，且此時(shí)x=1時(shí)，取等號(hào)，
∴ymin=9.
11.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-(1+k2)x2 (k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(1)求炮的最大射程;
(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它?請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)令y=0，得kx-(1+k2)x2=0，
由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，又k>0，
故x==≤=10，
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).
所以炮的最大射程為10千米.
(2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k>0，
使3.2=ka-(1+k2)a2成立
關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根
判別式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥00
