題型一 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化
例1 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=則關(guān)于x的函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
破題切入點(diǎn) 將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程根的問(wèn)題.
答案 7
解析 由y=2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1，
如圖畫(huà)出f(x)的圖象，由f(x)=知有4個(gè)根，
由f(x)=1知有3個(gè)根，故函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1共有7個(gè)零點(diǎn).
題型二 函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化
例2 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<-1或x>}，則f(10x)>0的解集為_(kāi)_______.
破題切入點(diǎn) 由題意，可得f(10x)>0等價(jià)于-1<10x<，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
答案 {x|x<-lg 2}
解析 由題意可知f(x)>0的解集為{x|-10等價(jià)于-1<10x<，
由指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，+∞)，知一定有10x>-1，
而10x<可化為10x<10，
即10x<10-lg 2.
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知x<-lg 2.
題型三 方程與不等式的轉(zhuǎn)化
例3 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍;
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍.
破題切入點(diǎn) 將二次函數(shù)的特殊點(diǎn)按照題目要求固定到區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)化為不等式(組)進(jìn)行求解.
解
(1)由條件，拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi)，如右圖所示，
得
即-0}，且A∩B=，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________.
答案 (-4，+∞)
解析 當(dāng)A=時(shí)，Δ=(p+2)2-4<0，
∴-4-4.
2.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間[0，m]上的最大值為3，最小值為2，則m的取值范圍為_(kāi)_______.
答案 [1,2]
解析 ∵f(x)=(x-1)2+2，其對(duì)稱(chēng)軸為x=1，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)min=2，故m≥1，又∵f(0)=3，f(2)=3，∴m≤2.綜上可知1≤m≤2.
3.方程x2-x-m=0在x∈[-1,1]上有實(shí)根，則m的取值范圍是________.
答案 [-，]
解析 m=x2-x=2-，x∈[-1,1].
當(dāng)x=-1時(shí)，m取最大值為，
當(dāng)x=時(shí)，m取最小值為-，∴-≤m≤.
4.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是________.
答案 (0,1)
解析
設(shè)t=f(x)，
則方程為t2-at=0，
解得t=0或t=a，
即f(x)=0或f(x)=a.
如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，
由函數(shù)圖象，可知f(x)=0的解有兩個(gè)，
故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5個(gè)不同的解，
則方程f(x)=a的解必有三個(gè)，此時(shí)00，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，
又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，
因此函數(shù)f(x)的兩零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi).
6.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.若f(x1)=x10，且有4-a>0，故00時(shí)，f(x)在[-1,1]上有零點(diǎn)的條件是 解得a>.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
10.已知定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)f(x)，若當(dāng)0≤θ≤時(shí)，f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案 (-，+∞)
解析 方法一 f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0f(cos2θ+2msin θ)-1-sin2θ.
當(dāng)θ=時(shí)，2m·0>-2，此時(shí)m∈R;
當(dāng)0≤θ<時(shí)，m>-，令t=1-sin θ，
則t∈(0,1]，此時(shí)m>-×=-(t+-2).
設(shè)φ(t)=-(t+-2)，
而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(-∞，-]，
故m>-.
方法二 同方法一，求得2m(1-sin θ)>-1-sin2θ，
設(shè)sin θ=t，則t2-2mt+2m+1>0對(duì)于t∈[0,1]恒成立.
設(shè)g(t)=t2-2mt+2m+1，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為t=m.
�、佼�(dāng)m<0時(shí)，g(t)在[0,1]上單調(diào)遞增，
從而g(0)=2m+1>0，即m>-，
又m<0，所以-0，即m2-2m-1<0，
所以1-1時(shí)，g(t)在[0,1]上單調(diào)遞減，
從而g(1)=1-2m+2m+1=2>0恒成立，所以m>1.
綜合①②③，可知m>-.
11.已知函數(shù)f(x)=2asin2x-2 asin xcos x+a+b(a≠0)的定義域是，值域是[-5,1]，求常數(shù)a，b的值.
解 f(x)=2a·(1-cos 2x)- asin 2x+a+b
=-2a+2a+b
=-2asin+2a+b，
又∵0≤x≤，∴≤2x+≤π，
∴-≤sin≤1.
因此，由f(x)的值域?yàn)閇-5,1]
可得
或
解得或
12.已知函數(shù)f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a，其中a∈R，且a≠0.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試求△OAB的面積S的最大值.
解 依題意，f(x)=g(x)，即ax2+ax=x-a，
整理得ax2+(a-1)x+a=0，①
∵a≠0，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴Δ>0，即Δ=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1
=(3a-1)(-a-1)>0，
∴-10，x1+x2=-.
設(shè)點(diǎn)O到直線g(x)=x-a的距離為d，
則d=，
∴S=|x1-x2|·
=
= .
∵-1
