12.設(shè)函數(shù)f(x)=(a<0)的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)(s，f(t))

(s，t∈D)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則a的值為__________.

解析：由題意定義域D為不等式ax2+bx+c≥0的解集.∵ax2+bx+c=a(x+2a(b))2+4a(4ac-b2)，∵a<0，∴0≤y≤ 4a(4ac-b2)，∴所有點(diǎn)(s，f(t))，(s，t∈D)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，意味著方程ax2+bx+c=0的兩根x1，x2應(yīng)滿足|x1-x2|= 4a(4ac-b2)，由根與系數(shù)的關(guān)系知4a(4ac-b2)=a2(b2)-a(4c)=a2(b2-4ac)，∴4a=-a2.∵a<0，∴a=-4.答案：-4

13.已知函數(shù)f(x)=-x2+bx+c，x≤0.(-2+x，x>0，)若f(0)=-2f(-1)=1，則函數(shù)g(x)=f(x)+x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________.

解析：∵f(0)=1，∴c=1.又f(-1)=-2(1)，∴-1-b+1=-2(1)，∴b=2(1).當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=-2+2x=0，∴x=1;當(dāng)x≤0時(shí)，g(x)=-x2+2(1)x+1+x=0，∴x2-2(3)x-1=0，∴x=2(舍)或x=-2(1)，所以有兩個(gè)零點(diǎn).答案：2

14.設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c，給出下列四個(gè)命題：①c=0時(shí)，f(x)是奇函數(shù);②b=0，c>0時(shí)，方程f(x)=0只有一個(gè)實(shí)根;③f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對(duì)稱;④方程f(x)=0至多有兩個(gè)實(shí)根.其中正確的命題是__________.

解析：c=0時(shí)，f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x)，故f(x)是奇函數(shù);b=0，c>0時(shí)，f(x)=x|x|+c=0，∴x≥0時(shí)，x2+c=0無(wú)解，x<0時(shí)，f(x)=-x2+c=0，∴x=-，有一個(gè)實(shí)數(shù)根.答案：①②③

15.對(duì)于區(qū)間[a，b]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)于區(qū)間[a，b]中的任意數(shù)x均有|f(x)-g(x)|≤1，則稱函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a，b]上是密切函數(shù)，[a，b]稱為密切區(qū)間.若m(x)=x2-3x+4與n(x)=2x-3在某個(gè)區(qū)間上是“密切函數(shù)”，則它的一個(gè)密切區(qū)間可能是________.

①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]

解析：|m(x)-n(x)|≤1⇒|x2-5x+7|≤1，解此絕對(duì)值不等式得2≤x≤3，故在區(qū)間[2,3]上|m(x)-n(x)|的值域?yàn)閇0,1]，∴|m(x)-n(x)|≤1在[2,3]上恒成立.

答案：③

16.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(c

(1)證明：-3

(2)若m是方程f(x)+1=0的一個(gè)實(shí)根，判斷f(m-4)的正負(fù)并加以證明.

解：(1)證明：f(1)=0⇒1+2b+c=0⇒b=-2(c+1).又c

(2) f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1)，f(m)=-1<0，

∴c0，

∴f(m-4)的符號(hào)為正.

17.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，且f(1)=-2(a)，3a>2c>2b，求證：(1)a>0且-3

證明：(1)∵f(1)=a+b+c=-2(a)，∴3a+2b+2c=0.

又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c=-3a-2b，由3a>2c>2b，

∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0，∴-3

(2)∵f(0)=c，f(2)=4a+2b+c=a-c，

①當(dāng)c>0時(shí)，∵a>0，∴f(0)=c>0且f(1)=-2(a)<0，

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)c≤0時(shí)，∵a>0，∴f(1)=-2(a)<0且f(2)=a-c>0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

(3)∵x1、x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，∴x1+x2=-a(b)，x1x2=a(c)=-2(3)-a(b)，∴|x1-x2|== a(b)= 2+2(b).∵-3

18.已知函數(shù)f(x)=ax2+4x+b(a<0，a、b∈R )，設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=0的兩實(shí)根為x1、x2，方程f(x)=x的兩實(shí)根為α、β.(1)若|α-β|=1，求a、b的關(guān)系式;(2)若a、b均為負(fù)整數(shù)，且|α-β|=1，求f(x)的解析式;(3)若α<1<β<2，求證：(x1+1)(x2+1)<7.

解：(1)由f(x)=x得ax2+3x+b=0(a<0，a、b∈R )有兩個(gè)不等實(shí)根為α、β，

∴Δ=9-4ab>0，α+β=-a(3)，α·β=a(b).由|α-β|=1得(α-β)2=1，

即(α+β)2-4αβ=a2(9)-a(4b)=1，∴9-4ab=a2，即a2+4ab=9(a<0，a、b∈R ).

(2)由(1)得a(a+4b)=9，∵a、b均為負(fù)整數(shù)，

∴a+4b=-9(a=-1)或a+4b=-1(a=-9)或a+4b=-3，(a=-3，)顯然后兩種情況不合題意，應(yīng)舍去，從而有a+4b=-9，(a=-1，)∴b=-2.(a=-1，)

故所求函數(shù)解析式為f(x)=-x2+4x-2.

(3)證明：由已知得x1+x2=-a(4)，x1·x2=a(b)，又由α<1<β<2得α+β=-a(3)<3，α·β=a(b)<2，∴-a(1)<1，∴(x1+1)(x2+1)=x1·x2+(x1+x2)+1=a(b)-a(4)+1<2+4+1=7，

即(x1+1)(x2+1)<7.