12.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，并且對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，滿足f(x+2)=-x(1)，若當(dāng)2
解析：由f(x+2)=-x(1)，可得f(x+4)=f(x)，f(2009.5)=f(502×4+1.5)=f(1.5)=f(-2.5)∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(2009.5)=f(2.5)=2(5).答案：2(5)
13.定義在R 上的函數(shù)f(x)在(-∞，a]上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，當(dāng)x1a，且|x1-a|<|x2-a|時(shí)，則f(2a-x1)與f(x2)的大小關(guān)系為________.
解析：∵y=f(x+a)為偶函數(shù)，∴y=f(x+a)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱.又∵f(x)在(-∞，a]上是增函數(shù)，∴f(x)在[a，+∞)上是減函數(shù).當(dāng)x1a，且|x1-a|<|x2-a|時(shí)，有a-x1f(x2).答案：f(2a-x1)>f(x2)
14.已知函數(shù)f(x)為R 上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(x+1).若f(a)=-2，則實(shí)數(shù)a=________.
解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x(x+1)>0，由f(x)為奇函數(shù)知x<0時(shí)，f(x)<0，∴a<0，f(-a)=2，∴-a(-a+1)=2，∴a=2(舍)或a=-1.答案：-1
15.已知定義在R 上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù).若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=________.
解析：因?yàn)槎x在R 上的奇函數(shù)，滿足f(x-4)=-f(x)，所以f(4-x)=f(x)，因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù).又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1
16.已知f(x)是R 上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，f(x)=-xlg(2-x)，求f(x)的解析式.
解：∵f(x)是奇函數(shù)，可得f(0)=-f(0)，∴f(0)=0.當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，由已知f(-x)=xlg(2+x)，∴-f(x)=xlg(2+x)，即f(x)=-xlg(2+x) (x>0).
∴f(x)=.(x<0，)即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R ).
11.已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x，y∈R 時(shí)，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求證：f(x)是奇函數(shù);(2)如果x∈R +，f(x)<0，并且f(1)=-2(1)，試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.
解：(1)證明：∴函數(shù)定義域?yàn)?B>R ，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=-x，∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0，∴f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0，得f(-x)=-f(x)，∴f(x)為奇函數(shù).
(2)法一：設(shè)x，y∈R +，∵f(x+y)=f(x)+f(y)，∴f(x+y)-f(x)=f(y).
∵x∈R +，f(x)<0，∴f(x+y)-f(x)<0，∴f(x+y)x，∴f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù).又∵f(x)為奇函數(shù)，f(0)=0，∴f(x)在(-∞，+∞)上是減函數(shù).∴f(-2)為最大值，f(6)為最小值.∵f(1)=-2(1)，∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1，f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1，最小值為-3.
法二：設(shè)x1R .則f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x1>0，∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R 上單調(diào)遞減.∴f(-2)為最大值，f(6)為最小值.∵f(1)=-2(1)，∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1，f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1，最小值為-3.
17.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?B>R ，且滿足f(x+2)=-f(x).
(1)求證：f(x)是周期函數(shù);
(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=2(1)x，求使f(x)=-2(1)在[0,2010]上的所有x的個(gè)數(shù).
解：(1)證明：∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，
∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù).
(2)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=2(1)x，
設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，∴f(-x)=2(1)(-x)=-2(1)x.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-2(1)x，即f(x)=2(1)x.故f(x)=2(1)x(-1≤x≤1)
又設(shè)1
又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x)+2]=-[-f(-x)]=-f(x)，∴-f(x)=2(1)(x-2)，∴f(x)=-2(1)(x-2)(1
由f(x)=-2(1)，解得x=-1.∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù).故f(x)=-2(1)的所有x=4n-1(n∈Z ).令0≤4n-1≤2010，則4(1)≤n≤5024(3)，又∵n∈Z ，∴1≤n≤502(n∈Z )，∴在[0,2010]上共有502個(gè)x使f(x)=-2(1).
