2017年江西高考數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)（三）

1.(2009年高考天津卷)若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的長為2，則a=________.

解析：兩圓方程作差易知弦所在直線方程為：y=a(1)，

如圖，由已知|AC|=，|OA|=2，有|OC|=a(1)=1，∴a=1.

答案：1

2.(2009年高考全國卷Ⅱ)已知圓O：x2+y2=5和點A(1,2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于________.

解析：依題意，過A(1,2)作圓x2+y2=5的切線方程為x+2y=5，在x軸上的截距為5，在y軸上的截距為2(5)，切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S=2(1)×2(5)×5=4(25).答案：4(25)

3.(2009年高考湖北卷)過原點O作圓x2+y2-6x-8y+20=0的兩條切線，設(shè)切點分別為P、Q，則線段PQ的長為________.

解析：∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-4)2=5，可知圓心為(3,4)，半徑為.如圖可知，|CO|=5，

∴OP==2.∴tan∠POC=OP(PC)=2(1).在Rt△POC中，OC·PM=OP·PC，∴PM=5(5)=2.∴PQ=2PM=4.答案：4

4.若直線3x+4y+m=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________.

解析：將圓x2+y2-2x+4y+4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x-1)2+(y+2)2=1，圓心為(1，-2)，半徑為1.

若直線與圓無公共點，即圓心到直線的距離大于半徑，

即d=32+42(-2+m|)=5(|m-5|)>1，∴m<0或m>10.

答案：(-∞，0)∪(10，+∞)

5.(原創(chuàng)題)已知直線x-y+2m=0與圓x2+y2=n2相切，其中m，n∈N *，且n-m<5，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(m，n)共有________個.

解析：由題意可得，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即2m-1=n，所以

2m-1-m<5，因為m，n∈N *，所以n=1(m=1)，n=2(m=2)，n=4(m=3)，n=8(m=4)，故有序?qū)崝?shù)對(m，n)共有4個.答案：4個

6.(2010年南京調(diào)研)已知：以點C(t，t(2))(t∈R ，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點.

(1)求證：△OAB的面積為定值;

(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若OM=ON，求圓C的方程.

解：(1)證明：∵圓C過原點O，∴OC2=t2+t2(4).設(shè)圓C的方程是(x-t)2+(y-t(2))2=t2+t2(4)，令x=0，得y1=0，y2=t(4);令y=0，得x1=0，x2=2t.

∴S△OAB=2(1)OA·OB=2(1)×|t(4)|×|2t|=4，即△OAB的面積為定值.

(2)∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分線段MN.∵kMN=-2，∴kO C=2(1)，

∴直線OC的方程是y=2(1)x.∴t(2)=2(1)t，解得：t=2或t=-2.

當(dāng)t=2時，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，OC=，此時圓心C到直線y=-2x+4的距離d=5(1)<，圓C與直線y=-2x+4相交于兩點.

當(dāng)t=-2時，圓心C的坐標(biāo)為(-2，-1)，OC=，此時圓心C到直線y=-2x+4的距離d=5(1)>，圓C與直線y=-2x+4不相交，

∴t=-2不符合題意舍去.∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.

7.直線ax+by+b-a=0與圓x2+y2-x-3=0的位置關(guān)系是________.

解析：直線方程化為a(x-1)+b(y+1)=0，過定點(1，-1)，代入圓的方程，左側(cè)小于0，則定點在圓內(nèi)，所以直線與圓總相交.答案：相交

8.(2010年秦州質(zhì)檢)已知直線y=-x與圓x2+y2=2相交于A、B兩點，P是優(yōu)弧AB上任意一點，則∠APB=____________.

解析：弦心距長為2(6)，半徑為，所以弦AB所對的圓心角為3(π)，又因為同弦所對的圓周角是圓心角的一半，所以∠APB=6(π).答案：6(π)

9.已知向量a =(cosα，sinα)，b =(cosβ，sinβ)，a 與b 的夾角為60°，直線xcosα+ysinα=0與圓(x+cosβ)2+(y+sinβ)2=2(1)的位置關(guān)系是________.

解析：cos60°=cosα·cosβ+sinα·sinβ=cos(α-β)，

d=cos2α+sin2α(|cosα·cosβ+sinα·sinβ|)=|cos(α-β)|=2(3)>2(2)=r.答案：相離

10.過點A(11,2)作圓x2+y2+2x-4y-164=0的弦，其中弦長為整數(shù)的共有__條.

解析：方程化為(x+1)2+(y-2)2=132，圓心為(-1,2)，到點A(11,2)的距離為12，最短弦長為10，最長弦長為26，所以所求直線條數(shù)為2+2×(25-10)=32(條).答案：32

11.若集合A={(x，y)|y=1+}，B={(x，y)|y=k(x-2)+4}.當(dāng)集合A∩B有4個子集時，實數(shù)k的取值范圍是________________.

解析：A∩B有4個子集，即A∩B有2個元素，∴半圓x2+(y-1)2=4(y≥1)與過P(2,4)點，斜率為k的直線有兩個交點，如圖：A(-2,1)，kPA=4(3)，過P與半圓相切時，k=12(5)，∴12(5)

答案：12(5)

12.已知AC、BD為圓O：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD的面積的最大值為________.

解析：設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，則d12+d22=OM2=3.

四邊形ABCD的面積S=2(1)|AB|·|CD|=2≤8-(d12+d22)=5.