8.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c有下列命題：

①若A>B>C，則sin A>sin B>sin C;

②若==，則△ABC為等邊三角形;

③若sin 2A=sin 2B，則△ABC為等腰三角形;

④若(1+tan A)(1+tan B)=2，則△ABC為鈍角三角形;

⑤存在A，B，C使得tan Atan Btan CB>C，則a>b>csin A>sin B>sin C;

若==，則=sin(A-B)=0A=Ba=b，同理可得a=c，所以△ABC為等邊三角形;若sin 2A=sin 2B，則2A=2B或2A+2B=π，因此△ABC為等腰或直角三角形;若(1+tan A)(1+tan B)=2，則tan A+tan B=1-tan Atan B，因此tan(A+B)=1C=，△ABC為鈍角三角形;在△ABC中，tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C恒成立，因此正確的命題為①②④.

9.若△ABC的三邊a，b，c及面積S滿足S=a2-(b-c)2，則sin A=________.

答案

解析　由余弦定理得S=a2-(b-c)2=2bc-2bccos A=bcsin A，所以sin A+4cos A=4，由sin2A+cos2A=1，解得sin2A+(1-)2=1，sin A=(0舍去).

10.若tan θ=3，則cos2θ+sin θcos θ=________.

答案

解析　∵tan θ=3，

∴cos2θ+sin θcos θ=

===.

11.已知單位向量a，b，c，且a⊥b，若c=ta+(1-t)b，則實數(shù)t的值為________.

答案　1或0

解析　c=ta+(1-t)bc2=t2+(1-t)2=|c|2=1t=0或t=1.

12.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcos A=(2c+a)cos(A+C).

(1)求角B的大小;

(2)求函數(shù)f(x)=2sin 2x+sin(2x-B)(x∈R)的最大值.

解　(1)由已知，bcos A=(2c+a)cos(π-B)，

即sin Bcos A=-(2sin C+sin A)cos B，

即sin(A+B)=-2sin Ccos B，

則sin C=-2sin Ccos B，

∴cos B=-，即B=.

(2)f(x)=2sin 2x+sin 2xcos -cos 2xsin

=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，

當2x-=+2kπ，k∈Z時，f(x)取得最大值，

即x=+kπ，k∈Z時，f(x)取得最大值.

13.已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間;

(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且銳角A滿足f(A)=1，b=，c=3，求a的值.

解　(1)f(x)=2sin xcos x-2cos2x+1

=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，

所以f(x)的最小正周期為π.

由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)，

所以f(x)的單調增區(qū)間為[kπ-，kπ+](k∈Z).

(2)由題意知f(A)=sin(2A-)=1，

sin(2A-)=，

又∵A是銳角，∴2A-=，∴A=，

由余弦定理得a2=2+9-2××3×cos =5，∴a=.