4.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.

(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布;

(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?

(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比.分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

解　(1)X可能的取值為10,20,100，-200.

根據(jù)題意，有

P(X=10)=C×()1×(1-)2=，

P(X=20)=C×()2×(1-)1=，

P(X=100)=C×()3×(1-)0=，

P(X=-200)=C×()0×(1-)3=.

所以X的概率分布為

X 10 20 100 -200 P (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3)，則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.

所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為

1-P(A1A2A3)=1-()3=1-=.

(3)X的均值為

E(X)=10×+20×+100×-200×=-.

這表明獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)，

因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B，C是橢圓+=1(a>b>0)上不同的三點(diǎn)，A(3，)，B(-3，-3)，C在第三象限，線段BC的中點(diǎn)在直線OA上.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上(異于點(diǎn)A，B，C)且直線PB，PC分別交直線OA于M，N兩點(diǎn)，證明·為定值并求出該定值.

解　(1)由已知，得

解得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

(2)設(shè)點(diǎn)C(m，n)(m<0，n<0)，則BC中點(diǎn)為(，).

由已知，求得直線OA的方程為x-2y=0，

從而m=2n-3.①

又∵點(diǎn)C在橢圓上，∴m2+2n2=27.②

由①②，解得n=3(舍)，n=-1，從而m=-5.

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-5，-1).

(3)設(shè)P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).

∵P，B，M三點(diǎn)共線，∴=，

整理得y1=.

∵P，C，N三點(diǎn)共線，∴=，

整理得y2=.

∵點(diǎn)P在橢圓上，∴x+2y=27，x=27-2y.

從而y1y2=

==3×=.

∴·=5y1y2=，

∴·為定值，定值為.

6.已知函數(shù)f(x)=x+aln x在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g(x)=f(x)+x2-bx.

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若函數(shù)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

(3)設(shè)x1，x2 (x10)，

g′(x)=+x-(b-1)=.

設(shè)μ(x)=x2-(b-1)x+1，則μ(0)=1>0只需

⇒b>3.

∴b的取值范圍為(3，+∞).

(3)令g′(x)=0，則x2-(b-1)x+1=0，

∴x1+x2=b-1，x1x2=1.

g(x1)-g(x2)=ln +(x-x)-(b-1)(x1-x2)

=ln +(x-x)-(x1+x2)(x1-x2)

=ln -

=ln-(-)，

設(shè)t=，∵0