[A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.(2013·課標(biāo)全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則·=________.

　　[解析]　如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，

　　∴=(1,2)，=(-2,2)，

　　·=1×(-2)+2×2=2.

　　[答案]　2

　　2.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(m，m+1)，若，則實(shí)數(shù)m的值為________.

　　[解析]　依題意得，=(3,1)，

　　由，

　　得3(m+1)-m=0，m=-.

　　[答案]　-

　　3.(2014·徐州調(diào)研)已知a=(1,2)，2a-b=(3,1)，則a·b=________.

　　[解析]　a=(1,2)，2a-b=(3,1)，

　　b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).

　　a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.

　　[答案]　5

　　4.(2013·常州市高三教學(xué)期末調(diào)研測試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x2+y2=4分別交x軸正半軸及y軸正半軸于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)，則·的最大值為________.

　　[解析]　根據(jù)題意得：M(2,0)，N(0,2).設(shè)P(2cos θ，2sin θ)，

　　則=(2-2cos θ，-2sin θ)，=(-2cos θ，2-2sin θ)，

　　所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ

　　=4-4(sin θ+cos θ)=4-4sin，

　　因?yàn)?1≤sin≤1，所以4-4≤·≤4+4，

　　所以·的最大值為4+4.

　　[答案]　4+4

　　5.(2014·宿遷調(diào)研)已知點(diǎn)A(-2,0)，B(0,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·=x2，則點(diǎn)P的軌跡方程是________.

　　[解析]　=(-2-x，-y)，=(-x，-y)，則

　　·=(-2-x)(-x)+(-y)2=x2，

　　y2=-2x.

　　[答案]　y2=-2x

　　6.(2014·常州質(zhì)檢)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，且|+|=|-|，其中O為原點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的值為________.

　　[解析]　由|+|=|-|，知，

　　|AB|=2，則得點(diǎn)O到AB的距離d=，

　　=，

　　解得a=2(a>0).

　　[答案]　2

　　7.(2014·南京、鹽城二模)已知||=1，||=2，AOB=，=+，則與的夾角大小為________.

　　[解析]　令=，=，因?yàn)閨|=1，||=2，所以||=||，由=+=+，得四邊形OA1CB1為菱形.因?yàn)榱庑螌?duì)角線平分所對(duì)角，因此AOC=60°.

　　[答案]　60°

　　8.如圖4­4­3，在ABC中，AB=AC，BC=2，=，=.若·=-，則·=________.

　　圖4­4­3

　　[解析]　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則·=·(1，-a)=-=-，解得a=2，所以=，=(-1，-2)，所以·=-.

　　[答案]　-

　　二、解答題

　　9.(2014·蘇北四市質(zhì)檢)已知向量a=(cos θ，sin θ)，b=(2，-1).

　　(1)若a⊥b，求的值;

　　(2)若|a-b|=2，θ，求sin的值.

　　[解]　(1)由a⊥b可知，a·b=2cos θ-sin θ=0，所以sin θ=2cos θ，

　　所以==.

　　(2)由a-b=(cos θ-2，sin θ+1)，可得|a-b|===2，

　　即1-2cos θ+sin θ=0，

　　又cos2θ+sin2θ=1，且θ，

　　由可解得

　　所以sin=(sin θ+cos θ)

　　==.

　　10.已知向量a=(cos x，sin x)，b=(sin 2x,1-cos 2x)，c=(0,1)，x(0，π).

　　(1)向量a，b是否共線?并說明理由;

　　(2)求函數(shù)f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.

　　[解]　(1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin2 x)

　　=2sin x(cos x，sin x)=2sin x·a，且|a|=1，即a≠0.

　　a與b共線.

　　(2)f(x)=|b|-(a+b)·c

　　=2sin x-(cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x)·(0,1)

　　=2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x

　　=-2sin2x+sin x=-22+.

　　當(dāng)sin x=時(shí)，f(x)有最大值.

　　[B級(jí)　能力提升練]

　　一、填空題

　　1.(2014·南京、鹽城二模)在ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且DC=2BD，ABAD∶AC=3k∶1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________.

　　[解析]　因?yàn)镈C=2BD，所以=+.平方得：2=2+2+||·||cos θ，θ(0，π)，即k2=×32+×12+×3×1×cos θ=+cos θ，因?yàn)閗>0，所以k.

　　[答案]

　　2.設(shè)O是ABC外接圓的圓心，=x+y，且||=6，||=8,4x+y=2，則·=________.

　　[解析]　依題意=x+y=2x·+·(2)，設(shè)=，=2，則E是AB中點(diǎn)，C是AF中點(diǎn)，=2x·+·.又因?yàn)?x+y=2，所以2x+=1，由三點(diǎn)共線的充要條件知E、O、F三點(diǎn)共線.由題意不難發(fā)現(xiàn)OEAB，即EFAB，那么在RtAEF中cosBAC==，·=6×8×cosBAC=9.

　　[答案]　9

　　二、解答題

　　3.(2014·南京質(zhì)檢)設(shè)a=(cos α，(λ-1)sin α)，b=(cos β，sin β)，是平面上的兩個(gè)向量，若向量a+b與a-b互相垂直.

　　(1)求實(shí)數(shù)λ的值;

　　(2)若a·b=，且tan β=，求tan α的值.

　　[解]　 (1)由(a+b)·(a-b)=0，得|a|2-|b|2=0，

　　cos2α+(λ-1)2sin2α-cos2β-sin2β=0.

　　(λ-1)2sin2α-sin2α=0，

　　0<α<，sin α≠0，λ2-2λ=0，λ=2(λ>0).

　　(2)由(1)知，a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=，

　　0<α<β<，-<α-β<0，

　　sin(α-β)=-，tan(α-β)=-.

　　tan α=tan[(α-β)+β]

　　=

　　==.