一、填空題

　　1.把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖).

　　則第7個(gè)三角形數(shù)是________.

　　[解析]　由題圖可知，第7個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28.

　　[答案]　28

　　2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=________.

　　[解析]　a10=S10-S9=(S9+S1)-S9=S1=a1=1.

　　[答案]　1

　　3.(2014·蘇州中學(xué)檢測(cè))已知數(shù)列{an}中，anN*，對(duì)于任意nN*，an≤an+1，若對(duì)于任意正整數(shù)k，在數(shù)列中恰有k個(gè)k出現(xiàn)，求a50=________.

　　[解析]　從定義可知數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，小的數(shù)一定在前面，故數(shù)列各項(xiàng)依次為1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3,4個(gè)4，…，k個(gè)k，由于1+2+3+…+9=45，說(shuō)明a45=9，a46=10，又1+2+3+…+9+10=55，故a50=10.

　　[答案]　10

　　4.(2014·南京模擬)已知數(shù)列{an}中，an=n2+λn(λ是與n無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)常數(shù))，且滿足a1-3.

　　[答案]　(-3，+∞)

　　5.已知a1=1，an=n(an+1-an)(nN*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________.

　　[解析]　an=n(an+1-an)，=，

　　an=×××…×××a1

　　=×××…×××1=n.

　　[答案]　n

　　6.已知a1=2，an+1-an=2n+1(nN*)，則an=________.

　　[解析]　由an+1-an=2n+1得an-an-1=2n-1，an-1-an-2=2n-3，…，a3-a2=5，a2-a1=3，

　　則an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

　　=2+3+5+7+…+(2n-3)+(2n-1)

　　=2+=n2+1.

　　[答案]　n2+1

　　7.(2014·廣州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-2，則a2等于________.

　　[解析]　Sn=2an-2，a1=S1=2a1-2，a1=2，

　　S2=2a2-2=a1+a2，即a2=a1+2=4.

　　[答案]　4

　　8.數(shù)列{an}中，a1=1，對(duì)于所有的n≥2，nN*，都有a1·a2·a3·…·an=n2，則a3+a5=________.

　　[解析]　由題意知：a1·a2·a3…an-1=(n-1)2，

　　an=2(n≥2)，

　　a3+a5=2+2=.

　　[答案]

　　二、解答題

　　9.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+6(nN*).

　　(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少?

　　(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)?若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)?

　　(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)?

　　[解]　(1)當(dāng)n=4時(shí)，a4=42-4×7+6=-6.

　　(2)令an=150，即n2-7n+6=150，

　　解得n=16或n=-9(舍去)，

　　即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).

　　(3)令an=n2-7n+6>0，解得n>6或n<1(舍).

　　n∈N*，數(shù)列從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù).

　　10.(1)已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an=an-1+3n-1(n≥2，nN*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

　　(2)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列，且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1,2,3，…)，求其通項(xiàng)公式an.

　　[解]　(1)a1=1，an-an-1=3n-1，

　　an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1-an-2)+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-1==.即an=.

　　(2)由已知遞推關(guān)系式分解因式可得：

　　(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.

　　又an>0，an+1+an≠0，

　　(n+1)an+1-nan=0，=，

　　an=a1···…·

　　=1····…··=.

　　即an=.

　　[B級(jí)　能力提升練]

　　一、填空題

　　1.已知數(shù)列{an}對(duì)于任意p，qN*，有ap+aq=ap+q，若a1=，則a36=________.

　　[解析]　ap+q=ap+aq，

　　a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4

　　=8a4+a4=18a2=36a1=4.

　　[答案]　4

　　2.(2014·揚(yáng)州中學(xué)檢測(cè))設(shè)f1(x)=，fn+1(x)=f1[fn(x)]，且an=，則a2 014=________.

　　[解析]　f1(0)=2，f2(0)==，f3(0)=，f4(0)=，…，

　　a1==，a2=-，a3=，a4=-，…，

　　可猜測(cè)a2 014=2 015.

　　實(shí)際上，an+1====-an，

　　即數(shù)列{an}是公比為-的等比數(shù)列，a2 014=×2 013=2 015.

　　[答案]　2 015

　　二、解答題

　　3.已知數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和Sn=an.

　　(1)求a2，a3;

　　(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

　　[解]　(1)Sn=an，且a1=1，

　　S2=a2，即a1+a2=a2，得a2=3.

　　由S3=a3，得3(a1+a2+a3)=5a3，得a3=6.

　　(2)由題設(shè)知a1=1.

　　當(dāng)n≥2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=an-an-1，

　　整理得an=an-1，即=，

　　于是=3，=，=，…，=，

　　以上n-1個(gè)式子的兩端分別相乘，得=，

　　an=，n≥2.

　　又a1=1適合上式，

　　故an=，nN*.