【典例2】　(2014·課標(biāo)全國卷)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.

　　(1)求{an}的通項公式;

　　(2)求數(shù)列的前n項和.

　　[解]　(1)方程x2-5x+6=0的兩根為2,3，

　　由題意得a2=2，a4=3.

　　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4-a2=2d，故d=，

　　從而a1=.

　　所以{an}的通項公式為an=n+1.

　　(2)設(shè)的前n項和為Sn.由(1)知=，則

　　Sn=++…++，

　　Sn=++…++.

　　兩式相減得

　　Sn=+-

　　=+-.

　　所以Sn=2-.

     【變式訓(xùn)練2】　(2013·山東高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.

　　(1) 求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)若數(shù)列{bn}滿足++…+=1-，nN*，求{bn}的前n項和Tn.

　　[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.

　　由S4=4S2，a2n=2an+1，得

　　解得

　　因此an=2n-1，nN*.

　　(2)由已知++…+=1-，nN*，

　　當(dāng)n=1時，=;

　　當(dāng)n≥2時，=1--=.

　　所以=，nN*.

　　由(1)知an=2n-1，nN*，所以bn=，nN*.

　　所以Tn=+++…+，

　　Tn=++…++.

　　兩式相減，得Tn=+-

　　=--，

　　所以Tn=3-.

     【典例3】　(2013·江西高考)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.

　　(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;

　　(2)令bn=，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的nN*，都有Tn<.

　　[思路點撥]　(1)根據(jù)已知條件構(gòu)造等價的關(guān)系式結(jié)合Sn與an的關(guān)系求解;(2)由(1)的結(jié)論先求出數(shù)列{bn}的通項公式，根據(jù)裂項求和法求出其前n項和，通過放縮法證明不等式.

　　[解]　(1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0，

　　得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.

　　由于數(shù)列{an}是正項數(shù)列，所以Sn>0，Sn=n2+n.

　　于是a1=S1=2，

　　當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.

　　綜上可知，數(shù)列{an}的通項an=2n.

　　(2)證明：由于an=2n，bn=，

　　則bn==.

　　Tn=1-+-+-+…+-+-

　　=1+--<=.