一、填空題

　　1.(2014·山東高考改編)已知x，y滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時，a2+b2的最小值為________________________________________________________________________.

　　[解析]

　　法一　線性約束條件所表示的可行域如圖所示.由解得所以z=ax+by在A(2,1)處取得最小值，故2a+b=2，

　　a2+b2=a2+(2-2a)2=(a-4)2+4≥4.

　　法二　畫出滿足約束條件的可行域知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過直線x-y-1=0與2x-y-3=0的交點(2,1)時取得最小值，所以有2a+b=2.又因為a2+b2是原點(0,0)到點(a，b)的距離的平方，故當(dāng)為原點到直線2a+b-2=0的距離時最小，所以的最小值是=2，所以a2+b2的最小值是4.

　　[答案]　4

　　2.(2013·江蘇高考)拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部與邊界).若點P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x+2y的取值范圍是________.

　　[解析]　由于y′=2x，

　　所以拋物線在x=1處的切線方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1.

　　畫出可行域(如圖).

　　設(shè)x+2y=z，則y=-x+z.

　　當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點A，B(0，-1)時，z分別取到最大值和最小值，此時最大值zmax=，最小值zmin=-2.

　　故取值范圍是.

　　[答案]

　　二、解答題

　　3.某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.

　　如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐?

　　[解]　設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元.

　　由題意知z=2.5x+4y，且x，y滿足

　　即

　　作出約束條件表示的可行域(如圖所示).

　　由得

　　讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x+4y=z在可行域上平移，由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)處取得最小值.

　　所以最優(yōu)解為x=4，y=3.

　　因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求.