【變式訓練3】　(2014·泰州中學檢測)給定圓P：x2+y2=2x及拋物線S：y2=4x，過圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個交點，自上而下順次記為A，B，C，D，如果線段AB，BC，CD的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列，求直線l的方程.

　　[解]　圓P的方程為(x-1)2+y2=1，則其直徑長|BC|=2，圓心為P(1,0)，設l的方程為ky=x-1，即x=ky+1，代入拋物線方程得：y2=4ky+4，設A(x1，y1)，D(x2，y2)，有

　　則(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).

　　故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2

　　=(y1-y2)2=16(k2+1)2，

　　因此|AD|=4(k2+1).

　　根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，

　　|AD|=3|BC|=6，即4(k2+1)=6，k=±，

　　即l方程為x-y-=0或x+y-=0.

　　2.(2014·蘇州調(diào)研)設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上，且BCx軸.求證：直線AC經(jīng)過原點O.

　　【常規(guī)證法】　拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，顯然直線AB的斜率不為0，當AB斜率不存在時，直線AP方程為x=，不妨設A在第一象限，則易知A，B，C，此時kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，

　　A，O，C三點共線，即直線AC經(jīng)過原點O.

　　當AB斜率存在且不為0時，設直線AB方程為y=k代入y2=2px得k2x2-(k2+2)px+=0，

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2=，

　　·=，

　　(y1y2)2=p4，由題意知y1y2<0，y1y2=-p2

　　kOC======kOA

　　直線AC過原點O，

　　綜上，直線AC經(jīng)過原點O.

　　【巧妙證法】　因為拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，而直線AB的斜率不為零，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設為x=my+.代入拋物線方程消去x得y2-2pmy-p2=0.

　　若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2=-p2.

　　因為BCx軸，且點C在準線x=-上，所以點C的坐標為，

　　故直線CO的斜率為k===，即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O.

　　3.(2014·南師附中檢測)設A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線y2=2px(p>0)上位于x軸兩側(cè)的兩點.

　　(1)若y1y2=-2p，證明直線AB恒過一個定點;

　　(2)若p=2，AOB(O是坐標原點)為鈍角，求直線AB在x軸上的截距的取值范圍.

　　[解]　(1)設直線AB在x軸上的截距為t，則可設直線AB的方程為x=my+t.代入y2=2px得y2=2p·(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直線AB恒過定點(1,0).

　　(2)因為AOB為鈍角，所以·<0，即x1x2+y1y2<0.y=2px1，y=2px2，yy=2px1·2px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t<0，得00)

　　把點P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p×(-2).

　　解得p=4，拋物線方程為y2=-8x.

　　當焦點在y軸負半軸上時，設方程為x2=-2py(p>0)，

　　把點P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p×(-4).

　　解得p=.拋物線方程為x2=-y.

　　綜上可知拋物線方程為y2=-8x或x2=-y.

　　[答案]　y2=-8x或x2=-y

　　4.(2013·廣東高考)已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c>0)到直線l：x-y-2=0的距離為.設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

　　(1)求拋物線C的方程;

　　(2)當點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程;

　　(3)當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值.

　　[解題思路]　(1)由點到直線的距離求c的值，得到F(0，c)后可得拋物線的方程;(2)采用“設而不求”策略，先設出A(x1，y1)，B(x2，y2)，結(jié)合導數(shù)求切線PA，PB的方程，代入點P的坐標，根據(jù)結(jié)構(gòu)，可得直線AB的方程;(3)將|AF|·|BF|轉(zhuǎn)化為關(guān)于x′(或y′)的函數(shù)，再求最值.

　　[解]　(1)依題意，設拋物線C的方程為x2=4cy(c>0)，

　　由點到直線的距離公式，得=，

　　解得c=1(負值舍去)，故拋物線C的方程為x2=4y.

　　(2)由x2=4y，得y=x2，其導數(shù)為y′=x.

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x=4y1，x=4y2，

　　切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，

　　所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1)，

　　即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.

　　同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.

　　因為切線PA，PB均過點P(x0，y0)，

　　所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

　　所以和為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.

　　所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

　　(3)由拋物線定義可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

　　所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.

　　由消去x并整理得到關(guān)于y的方程為y2+(2y0-x)y+y=0.

　　由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

　　y1+y2=x-2y0，y1y2=y.

　　所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1

　　=y+x-2y0+1.

　　又點P(x0，y0)在直線l上，所以x0-y0-2=0，

　　即x0=y0+2，

　　所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，

　　所以當y0=-時，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值為.