[A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.(2014·徐州調(diào)研)若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k=________.

　　[解析]　由消y得k2x2-4(k+2)x+4=0，由題意得Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0解得k>-1，且x1+x2==4解得k=-1或k=2，故k=2.

　　[答案]　2

　　2.點(diǎn)P是圓(x-4)2+(y-1)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程是________.

　　[解析]　設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，則x=，y=，x0=2x，y0=2y，(x0，y0)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，

　　(x0-4)2+(y0-1)2=4.(2x-4)2+(2y-1)2=4.即(x-2)2+2=1.

　　[答案]　(x-2)2+2=1

　　3.(2014·宿遷質(zhì)檢)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在x軸上，拋物線上的點(diǎn)P(2，k)與點(diǎn)F的距離為3，則拋物線方程為________.

　　[解析]　xP=2>0，設(shè)拋物線方程為y2=2px，則|PF|=2+=3，=1，p=2.

　　[答案]　y2=4x

　　4.動(dòng)點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于2，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形面積是________.

　　[解析]　設(shè)P(x，y)，則|x|+|y|=2.它的圖形是一個(gè)以2為邊長的正方形，故S=(2)2=8.

　　[答案]　8

　　5.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.則求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為________.

　　[解析]　如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(x，y)，由題意，|O1A|=|O1M|，

　　當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn).

　　|O1M|=，

　　又|O1A|=，

　　= ，

　　化簡得y2=8x(x≠0).

　　當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)

　　也滿足方程y2=8x，

　　動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.

　　[答案]　y2=8x

　　圖8­8­3

　　6.(2014·鹽城調(diào)研)如圖8­8­3所示，已知C為圓(x+)2+y2=4的圓心，點(diǎn)A(，0)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線CP上，且·=0，=2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)Q的軌跡方程為________.

　　[解析]　圓(x+)2+y2=4的圓心為C(-，0)，半徑r=2，·=0，=2，MQ⊥AP，點(diǎn)M是線段AP的中點(diǎn)，即MQ是AP的中垂線，連接AQ，則|AQ|=|QP|，

　　||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2，

　　又|AC|=2>2，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(-，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，由c=，a=1，得b2=1，因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2-y2=1.

　　[答案]　x2-y2=1

　　7.已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為M.則點(diǎn)M的軌跡方程為________.

　　[解析]　設(shè)M(x，y)，A，B，顯然x1≠x2，由x2=4y，得y=x2，y′=x，于是過A、B兩點(diǎn)的切線方程分別為y-=(x-x1)，即y=x-　，y-=(x-x2)，即y=x-　，由解得　，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，由，得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4　，代入得，即M(2k，-1)，故點(diǎn)M的軌跡方程是y=-1.

　　[答案]　y=-1

　　8.(2014·江蘇泰州中學(xué)期末)若橢圓C1：+=1(a1>b1>0)和C2：+=1(a2>b2>0)是焦點(diǎn)相同且a1>a2的兩個(gè)橢圓，有以下幾個(gè)命題：C1，C2一定沒有公共點(diǎn);>;a-a=b-b;a1-a2a2，所以b1>b2，C1，C2一定沒有公共點(diǎn);因?yàn)閍1>a2，b1>b2，所以>不一定成立;由a-b=a-b得a-a=b-b;由a-a=b-b得(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2)，因?yàn)閍1+a2>b1+b2，所以a1-a2b>0)所圍成的封閉圖形的面積為4，曲線C1上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為.以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2.

　　(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;

　　(2)設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線M是l上的點(diǎn)(與O不重合).

　　若|MO|=2|OA|，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程;

　　若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求AMB面積的最小值.

　　[解]　(1)由題意得又a>b>0，解得a2=8，b2=1，因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

　　(2)設(shè)M(x，y)，A(m，n)，則由題設(shè)知||=2||，·=0，

　　即解得

　　因?yàn)辄c(diǎn)A(m，n)在橢圓C2上，所以+n2=1.

　　即+x2=1，亦即+=1，

　　所以點(diǎn)M的軌跡方程為+=1.

　　設(shè)M(x，y)，則A(λy，-λx)(λR，λ≠0)，

　　因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C2上，所以λ2(y2+8x2)=8，

　　即y2+8x2=，()

　　又x2+8y2=8，()

　　(ⅰ)+()得x2+y2=，

　　所以SAMB=OM·OA=|λ|(x2+y2)=·≥.

　　當(dāng)且僅當(dāng)λ=±1時(shí)，(SAMB)min=.