考向1 抽樣方法
【典例1】 (1)(2014·湖南高考改編)對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則p1，p2，p3的大小關(guān)系為_(kāi)_______.
(2)(2014·湖北高考)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類(lèi)型產(chǎn)品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè).若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為_(kāi)_______件.
[解析] (1)不管用什么抽樣方法，每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，p1=p2=p3.
(2)設(shè)乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為x件，則甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為(4 800-x)件.由分層抽樣特點(diǎn)，結(jié)合題意可得=，解得x=1 800.
[答案] (1)p1=p2=p3 (2)1 800,【規(guī)律方法】
1.進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要求，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊;為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同;在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣;抽樣比==.
2.一般地，系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，若第一組抽取號(hào)碼a，然后以d為間距依次等距離抽取后面的編號(hào)，抽出的所有號(hào)碼為a+dk(k=0,1,2，…，n-1)，其中n是組數(shù).
【變式訓(xùn)練1】 (1)(2014·天津高考)某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為45∶5∶6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取________名學(xué)生.
(2)(2013·江西高考改編)總體由編號(hào)為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為_(kāi)_______.
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 [解析] (1)根據(jù)題意，應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取的人數(shù)為×300=60.
(2)由隨機(jī)數(shù)表法的隨機(jī)抽樣的過(guò)程可知選出的5個(gè)個(gè)體是08,02,14,07,01，所以第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)是01.
[答案] (1)60 (2)01考向2 統(tǒng)計(jì)圖表
【典例2】 (1)(2014·江蘇高考改編)設(shè)抽測(cè)的樹(shù)木的底部周長(zhǎng)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖923所示，則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，有________株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm.
(2)(2013·重慶高考)如圖924是某公司10個(gè)銷(xiāo)售店某月銷(xiāo)售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺(tái))的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22,30)內(nèi)的頻率為_(kāi)_______.
圖924
[解析] (1)由題意在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，底部周長(zhǎng)小于100 cm的株數(shù)為(0.015+0.025)×10×60=24.
頻率分布直方圖中的縱坐標(biāo)為，此處經(jīng)常誤認(rèn)為縱坐標(biāo)是頻率.
(2)由落在[22,30)內(nèi)的數(shù)據(jù)有4個(gè)，且共有10個(gè)數(shù)據(jù)，故頻率為=0.4.
[答案] (1)24 (2)0.4,【規(guī)律方法】
1.解決頻率分布直方圖的問(wèn)題，關(guān)鍵在于找出圖中數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系.這些數(shù)據(jù)中，比較明顯的有組距、，間接的有頻率、小長(zhǎng)方形的面積，合理使用這些數(shù)據(jù)，再結(jié)合兩個(gè)等量關(guān)系：小長(zhǎng)方形面積=組距×=頻率，小長(zhǎng)方形面積之和等于1，即頻率之和等于1.
2.明確莖葉圖的數(shù)據(jù)對(duì)處理樣本的數(shù)據(jù)特征顯得尤為重要，而方差可以衡量樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.莖葉圖刻畫(huà)數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)：(1)所有數(shù)據(jù)信息都可用在莖葉圖中看到;(2)莖葉圖便于記錄和表示，且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.
【變式訓(xùn)練2】 (1)
(2014·山東高考改編)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，如圖925是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為_(kāi)_______.
(2013·重慶高考改編)右面莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分).已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x+y=________.
[解析] (1)依據(jù)頻率分布直方圖及頻率公式求解.志愿者的總?cè)藬?shù)為=50，所以第三組人數(shù)為50×0.36=18，有療效的人數(shù)為18-6=12.
(2)由于甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15=10+x，
x=5.
又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=16.8，
y=8.
故x+y=5+8=13.
[答案] (1)12 (2)13考向3 樣本的數(shù)字特征(高頻考點(diǎn))
命題視角 求樣本的數(shù)字特征是統(tǒng)計(jì)中�？嫉膬�(nèi)容，主要命題角度有：
(1)求眾數(shù)、中位數(shù);
(2)求平均數(shù)、方差;
(3)由樣本的數(shù)字特征估計(jì)概率.
【典例3】 (2014·課標(biāo)全國(guó)卷)某市為了考核甲、乙兩部門(mén)的工作情況，隨機(jī)訪問(wèn)了50位市民.根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門(mén)的評(píng)分(評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高)，繪制莖葉圖如下：
甲部門(mén) 乙部門(mén) 3 59 4 4 0448 97 5 122456677789 97665332110 6 011234688 98877766555554443332100 7 00113449 6655200 8 123345 632220 9 011456 10 000 (1)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)評(píng)分的中位數(shù);
(2)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)的評(píng)分高于90的概率;
(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)的評(píng)價(jià).
[思路點(diǎn)撥] (1)把甲、乙兩部門(mén)的數(shù)據(jù)根據(jù)莖葉圖從小到大排列，可求出中位數(shù)，再估計(jì)總體中位數(shù);(2)先分別計(jì)算甲、乙兩部門(mén)得分大于90的人數(shù)，然后得出高于90的頻率，再估計(jì)總體;(3)根據(jù)莖葉圖估計(jì)它們的標(biāo)準(zhǔn)差，從而得出結(jié)論.
[解] (1)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對(duì)甲部門(mén)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.
50位市民對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分由小到大排序后，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為=67，所以該市的市民對(duì)乙部門(mén)評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.
(2)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)的評(píng)分高于90的比率分別為=0.1，=0.16，故該市的市民對(duì)甲、乙兩部門(mén)的評(píng)分高于90的概率的估計(jì)值分別為0.1,0.16.
(3)由所給莖葉圖知，市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門(mén)的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門(mén)的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明該市市民對(duì)甲部門(mén)的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門(mén)的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大.,【通關(guān)錦囊】
(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量;
(2)由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì);
(3)眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題;
(4)中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響.中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì);
(5)在實(shí)際問(wèn)題中求得的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)應(yīng)帶上單位.
【變式訓(xùn)練3】 (2014·湖南高考)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組.為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b).其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失敗;b，分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.
(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分.試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平;
(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率.
[解] (1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?/P>
1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，
其平均數(shù)為
甲==;
方差為
s==.
乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?/P>
1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，
其平均數(shù)為
乙==;
方差為
s==.
因?yàn)榧?gt;乙，s
