[A級(jí)　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

　　一、填空題

　　1.奧運(yùn)選手選拔賽上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有________________________________________________________________________種.

　　[解析]　分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員.

　　第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以安排方式有4×3×2=24(種).

　　第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1=120種.

　　安排這8人的方式有24×120=2 880(種).

　　[答案]　2880

　　2.將一個(gè)四面體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點(diǎn)的棱不能涂相同顏色，則不同的涂色方案有________種.

　　[解析]　因?yàn)橹挥腥�種顏色，又要涂六條棱，所以應(yīng)該將四面體的對(duì)棱涂成相同的顏色.

　　故有3×2×1=6種涂色方案.

　　[答案]　6

　　3.(2011·北京高考)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答).

　　[解析]　用2,3組成四位數(shù)共有2×2×2×2=16(個(gè))，其中不出現(xiàn)2或不出現(xiàn)3的共2個(gè)，

　　因此滿足條件的四位數(shù)共有16-2=14(個(gè)).

　　[答案]　14

　　4.從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的有________個(gè).

　　[解析]　以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4;1,3,9;

　　以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8;

　　以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9.

　　把這四個(gè)數(shù)列順序顛倒，又得到4個(gè)數(shù)列，

　　故所求數(shù)列有8個(gè).

　　[答案]　8

　　5.集合P={x,1}，Q={y,1,2}，其中x，y{1,2,3，…，9}，且PQ.把滿足上述條件的一個(gè)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________.

　　[解析]　當(dāng)x=2時(shí)，x≠y，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×7=7(個(gè)).

　　當(dāng)x≠2時(shí)，由PQ，x=y.

　　x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法.

　　因此滿足條件的點(diǎn)共有7+7=14(個(gè)).

　　[答案]　14

　　6.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B、C、D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，有車主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3、5、6、8、9中選擇，其他號(hào)碼只想在1、3、6、9中選擇，則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有________種.

　　[解析]　按照車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二位號(hào)碼有3種選法，其余三位號(hào)碼各有4種選法.

　　因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4=960(種).

　　[答案]　960

　　圖10­1­3

　　7.如圖10­1­3所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè).

　　[解析]　把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：

　　第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4=32(個(gè)).

　　第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).

　　由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32+8=40(個(gè)).

　　[答案]　40

　　8.只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，則這樣的四位數(shù)有________個(gè).

　　[解析]　由題意知，1,2,3中必有某一個(gè)數(shù)字重復(fù)使用2次，第一步確定誰被使用2次，有3種方法;第二步把這2個(gè)相等的數(shù)放在四位數(shù)不相鄰的兩個(gè)位置上，也有3種方法;第三步將余下的2個(gè)數(shù)放在四位數(shù)余下的2個(gè)位置上，有2種方法.故共可組成3×3×2=18個(gè)不同的四位數(shù).

　　[答案]　18

　　二、解答題

　　圖10­1­4

　　9.如圖10­1­4，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)有多少種.

　　[解]　可依次種A，B，C，D四塊，當(dāng)C與A種同一種花時(shí)，有4×3×1×3=36(種)種法;當(dāng)C與A所種花不同時(shí)，有4×3×2×2=48(種)種法.

　　由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的種法種數(shù)為36+48=84種.

　　10.電視臺(tái)在“歡樂在今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中放著競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先從中確定一名幸運(yùn)之星，再?gòu)膬上渲懈鞔_定一名幸運(yùn)觀眾，有多少種不同結(jié)果?

　　[解]　(1)幸運(yùn)之星先在甲箱中抽，選定幸運(yùn)之星，再在兩箱內(nèi)各抽一名幸運(yùn)觀眾有30×29×20=17 400(種).

　　(2)幸運(yùn)之星先在乙箱中抽取，有20×19×30=11 400(種).

　　共有不同結(jié)果17 400+11 400=28 800(種).

　　[B級(jí)　能力提升練]

　　一、填空題

　　1.如圖10­1­5所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有________種.

　　圖10­1­5

　　[解析]　四個(gè)焊點(diǎn)共有24種情況，其中使線路通的情況有：1、4都通，2和3至少有一個(gè)通時(shí)線路才通，共有3種可能.故不通的情況有24-3=13(種)可能.

　　[答案]　13

　　2.由0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有________個(gè).

　　[解析]　由0,1,2,3可組成的四位數(shù)共有3×43=192(個(gè))，其中無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有3A=18(個(gè)).

　　有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有192-18=174(個(gè)).

　　[答案]　174

　　二、解答題

　　3.設(shè)集合Pn={1,2，…，n}，nN*，記f(n)為同時(shí)滿足下列條件的集合A的個(gè)數(shù)：

　　A⊆Pn;若xA，則2xA;若xPnA，則2xPnA.

　　(1)求f(4);

　　(2)求f(n)的解析式(用n表示).

　　[解]　(1)當(dāng)n=4時(shí)，符合條件的集合A為：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)=4.

　　(2)任取偶數(shù)xPn，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2，…，經(jīng)過k次以后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，于是x=m·2k，其中m為奇數(shù)，kN*.

　　由條件知，若mA，則xA⇔k為偶數(shù);

　　若mA，則xA⇔k為奇數(shù).

　　于是x是否屬于A由m是否屬于A確定.設(shè)Qn是Pn中所有奇數(shù)的集合，因此f(n)等于Qn的子集個(gè)數(shù).當(dāng)n為偶數(shù)(或奇數(shù))時(shí)，Pn中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是，

　　所以f(n)=