【變式訓(xùn)練1】　(1)(2014·鎮(zhèn)江調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=log2x，則在區(qū)間(0,5)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，f(x)<2的概率為________.

　　(2)點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長度小于1的概率為________.

　　[解析]　(1)由log2x<2，從而02S2的概率是________.

　　[解析]　由S1>2S2，AP>2PB，即S1>2S2的概率為.

　　[答案]

　　2.設(shè)A為圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連結(jié)，則弦長超過半徑倍的概率是________.

　　[解析]　如圖所示，作等腰直角三角形AOC和CAM，B為圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長|AB|>R，∴P=.

　　[答案]

　　3.在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于的概率是________.

　　[解析]　如圖，要使S△PBC>S△ABC，只需PB>AB.

　　故所求概率為P==.

　　[答案]

　　4.在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sin x+cos x≤1”發(fā)生的概率為________.

　　[解析]　由sin x+cos x≤1，得sin≤，

　　由于0≤x≤π，則≤x≤π，

　　由幾何概型概率公式得，所求概率P==.

　　[答案]

　　5.已知正三棱錐S­ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP­ABC

　　[解析]　當(dāng)點(diǎn)P到底面ABC的距離小于時(shí)，

　　VP­ABC

　　由幾何概型知，所求概率為P=1-3=.

　　[答案]

　　6.已知函數(shù)f(x)=log2x，x∈，在區(qū)間上任取一點(diǎn)x0，使f(x0)≥0的概率為________.

　　[解析]　由f(x0)≥0，得log2x0≥0，∴x0≥1，

　　因此使f(x0)≥0的區(qū)域?yàn)閇1,2]，

　　故所求概率為P==.

　　[答案]

　　7.已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，使四棱錐M­ABCD的體積小于的概率是________.

　　[解析]　如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1.

　　設(shè)M­ABCD的高為h，

　　則×SABCD×h<，

　　又SABCD=1，∴h<，

　　即點(diǎn)M在正方體的下半部分，

　　∴所求概率P==.

　　[答案]

　　8.(2014·連云港清華園雙語學(xué)校檢測)若在區(qū)間(-1,1)內(nèi)任取實(shí)數(shù)a，在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取實(shí)數(shù)b，則直線ax-by=0與圓(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率為________.

　　[解析]　直線ax-by=0與圓(x-1)2+(y-2)2=1相交應(yīng)滿足<1，即4a>3b，在平面直角坐標(biāo)系aOb中，-13b的區(qū)域?yàn)閳D中ODCE的內(nèi)部，由E，可求得梯形ODCE的面積為，而矩形ABCD的面積為2，由幾何概型可知，所求的概率為.

　　[答案]

　　二、解答題

　　9.如圖10­6­5所示，在單位圓O的某一直徑上隨機(jī)地取一點(diǎn)Q，求過點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率.

　　[解]　弦長不超過1，即|OQ|≥.

　　因Q點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)的，記事件A={弦長超過1}.

　　由幾何概型的概率公式得P(A)==.

　　∴弦長不超過1的概率為1-P(A)=1-.

　　10.在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P落在單位圓x2+y2=1內(nèi)的概率.

　　[解]　如圖所示，不等式組

　　表示的平面區(qū)域是△ABC的內(nèi)部及其邊界.

　　又圓x2+y2=1的圓心(0,0)到x+y-=0與x-y+=0的距離均為1，

　　∴直線x+y-=0與x-y+=0均與單位圓x2+y2=1相切，

　　記“點(diǎn)P落在x2+y2=1內(nèi)”為事件A，

　　∵事件A發(fā)生時(shí)，所含區(qū)域面積S=π，且S△ABC=×2×=2，

　　故所求事件的概率P(A)==.

　　[B級　能力提升練]

　　一、填空題

　　1.(2012·遼寧高考改編)在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為________.

　　[解析]　設(shè)AC=x，CB=12-x，所以x(12-x)=32，解得x=4或x=8.

　　所以P==.

　　[答案]

　　2.(2013·鹽城中學(xué)調(diào)研)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是________.

　　[解析]　本題為幾何概型，設(shè)D為正方形OABC的面積，d為到坐標(biāo)原點(diǎn)距離大于2的面積，則P====1-.

　　[答案]　1-

　　二、解答題

　　3.已知向量a=(2,1)，b=(x，y).

　　(1)若x{-1,0,1,2}，y{-1,0,1}，求向量ab的概率;

　　(2)若x[-1,2]，y[-1,1]，求向量a，b的夾角是鈍角的概率.

　　[解]　(1)設(shè)“ab”為事件A，由ab, 得x=2y.

　　基本事件空間為Ω={(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，(2，-1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12個(gè)基本事件;

　　其中A={(0,0)，(2,1)}，包含2個(gè)基本事件.

　　則P(A)==，即向量ab的概率為.

　　(2)因?yàn)閤[-1,2]，y[-1,1]，則滿足條件的所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域(如圖)為矩形ABCD，面積為S1=3×2=6.

　　設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，

　　可得a·b<0，即2x+y<0，且x≠2y.

　　事件B包含的基本事件所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中四邊形AEFD，面積S2=××2=2，

　　則P(B)===.

　　即向量a，b的夾角是鈍角的概率是.