[B級　能力提升練]

　　一、填空題

　　1.(2014·北京高考改編)已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0)，B(m,0)(m>0).若圓C上存在點P，使得APB=90°，則m的最大值為________.

　　[解析]　根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r=1，且|AB|=2m.因為APB=90°，連接OP，易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離.因為|OC|==5，所以|OP|max=|OC|+r=6，即m的最大值為6.

　　[答案]　6

　　2.(2014·揚州質(zhì)檢)若O：x2+y2=5與O1：(x-m)2+y2=20(mR)相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是________.

　　[解析]　由題意O1與O在A處的切線互相垂直，

　　則兩切線分別過另一圓的圓心，

　　所以O(shè)1AOA.

　　又|OA|=，|O1A|=2，

　　|OO1|=5，

　　又A、B關(guān)于OO1對稱，

　　所以AB為RtOAO1斜邊上高的2倍，

　　|AB|=2×=4.

　　[答案]　4

　二、解答題

　　3.已知平面直角坐標系xOy中O是坐標原點，A(6,2)，B(8,0)，圓C是OAB的外接圓，過點(2,6)的直線l被圓C所截得的弦長為4.

　　(1)求圓C的方程及直線l的方程;

　　(2)設(shè)圓N的方程為(x-4-7cos θ)2+(y-7sin θ)2=1(θR)，過圓N上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點為E，F(xiàn)，求·的最大值.

　　[解]　(1)因為A(6,2)，B(8,0)，所以O(shè)AB為以O(shè)B為斜邊的直角三角形，所以圓C的方程為(x-4)2+y2=16.

　　當直線l的斜率不存在時，l：x=2，被圓C截得的弦長為4，所以l：x=2符合題意.

　　當直線l的斜率存在時，設(shè)l：y-6=k(x-2)，即kx-y+6-2k=0.

　　因為被圓C截得弦長為4，所以圓心C到直線的距離為2.

　　所以=2，解得k=-，所以l：y-6=-(x-2)，即4x+3y-26=0.

　　綜上，直線l的方程為x=2或4x+3y-26=0.

　　(2)因為圓心N(4+7cos θ，7sin θ)，若設(shè)N(x，y)，則所以(x-4)2+y2=49.

　　即圓心N在以(4,0)為圓心，7為半徑的圓周上運動.

　　如圖，設(shè)ECF=2α，則·=||·||·cos 2α=16cos 2α=32cos2α-16.

　　在RtPCF中，cos α==.由圓的幾何性質(zhì)得NC+1≥PC≥NC-1=7-1=6，所以≤cos α≤.由此可得·≤-，則·的最大值為-.