7.4。解析：由題意點(diǎn)M的坐標(biāo)可求得為M(3，±)，雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F2(4，0)。

　　由兩點(diǎn)間的距離公式得|F2M|==4。

　　8.解析：如圖所示，設(shè)雙曲線方程為=1，取其上一點(diǎn)P(m，n)，

　　則Q(m，-n)，由=0可得(a-m，-n)·(m+a，-n)=0，

　　化簡得a2-m2+n2=0。

　　又=1可得b=a，

　　故雙曲線的離心率為e=。

　　9.(1)解：因?yàn)閑=，

　　所以可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ。

　　因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4，-)，

　　所以16-10=λ，即λ=6。

　　所以雙曲線方程為=1。

　　(2)證明：由(1)可知，在雙曲線中a=b=，所以c=2。

　　所以F1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)。

　　所以=(-2-3，-m)，

　　=(2-3，-m)，

　　則=9-12+m2=m2-3。

　　因?yàn)辄c(diǎn)(3，m)在雙曲線上，

　　所以9-m2=6，即m2=3。

　　所以=m2-3=0。

　　(3)解：由 (2)知F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=，由F1MF2的底邊|F1F2|=4，

　　則=6。

　　10.解：(1)由|PM|-|PN|=2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長a=。

　　又焦距2c=4，所以虛半軸長b=。

　　所以W的方程為=1(x≥)。 (2)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)。

　　當(dāng)ABx軸時(shí)，x1=x2，y1=-y2，

　　從而=x1x2+y1y2==2。

　　當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(k≠±1)，與W的方程聯(lián)立，消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0，

　　則x1+x2=，x1x2=，

　　所以=x1x2+y1y2

　　=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

　　=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

　　=+m2

　　==2+。

　　又因?yàn)閤1x2>0，所以k2-1>0。

　　所以>2。

　　綜上所述，當(dāng)ABx軸時(shí)，取得最小值2。

　　11.C。解析：設(shè)等軸雙曲線方程為x2-y2=m(m>0)，

　　因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線為x=-4，

　　且|AB|=4，所以|yA|=2。

　　把坐標(biāo)(-4，2)代入雙曲線方程得m=x2-y2=16-12=4，

　　所以雙曲線方程為x2-y2=4，

　　即=1。

　　所以a2=4，所以實(shí)軸長2a=4。

　　12.B。解析：設(shè)PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r，

　　整理可得|PF1|=|PF2|+2λc。

　　由雙曲線的定義可得

　　|PF1|-|PF2|=2a，

　　則2λc=2a，故λ=。

　　13.B。解析：由a2+1=4，得a=，

　　則雙曲線方程為-y2=1。

　　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則=1，

　　即-1。

　　=x0(x0+2)+

　　=+2x0+-1

　　=，

　　x0≥，∴當(dāng)x0=時(shí)，取最小值3+2.故的取值范圍是[3+2，+∞)。

　　14.。解析：雙曲線=1的兩條漸近線方程分別是y=x和y=-x。

　　由解得A，

　　由解得B。

　　設(shè)AB中點(diǎn)為E，則E。

　　由于|PA|=|PB|，所以PE與直線x-3y+m=0垂直，

　　而kPE=，

　　于是=-1。所以a2=4b2=4(c2-a2)。

　　所以4c2=5a2，解得e=。

　　15.解：(1)設(shè)C2的焦距為2c2，由題意知，2c2=2，2a1=2.從而a1=1，c2=1。

　　因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2-=1上，所以=1。故=3。

　　由橢圓的定義知2a2=2。

　　于是a2=2。

　　故C1，C2的方程分別為x2-=1，=1。

　　(2)不存在符合題設(shè)條件的直線。

　　若直線l垂直于x軸，因?yàn)閘與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線l的方程為x=或x=-。

　　當(dāng)x=時(shí)，易知A()，B(，-)，

　　所以||=2，||=2。

　　此時(shí)，||≠|(zhì)|。

　　當(dāng)x=-時(shí)，

　　同理可知，||≠|(zhì)|。

　　若直線l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y=kx+m。

　　由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0。

　　當(dāng)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，

　　從而x1+x2=，x1x2=。

　　于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=。

　　由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0。

　　因?yàn)橹本�l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0。

　　化簡，得2k2=m2-3，

　　因此=x1x2+y1y2=≠0，

　　于是+2-2，

　　即||≠|(zhì)|，

　　故||≠|(zhì)|。

　　綜合，②可知，不存在符合題設(shè)條件的直線。

　　16.解法一：(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y=2x，y=-2x，

　　所以=2，所以=2，

　　故c=a，

　　從而雙曲線E的離心率e=。

　　(2)由(1)知，雙曲線E的方程為=1。

　　設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C。

　　當(dāng)lx軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

　　則|OC|=a，|AB|=4a，

　　又因?yàn)镺AB的面積為8，

　　所以|OC|·|AB|=8，

　　因此a·4a=8，解得a=2，

　　此時(shí)雙曲線E的方程為=1。

　　若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為=1。

　　以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E:=1也滿足條件。

　　設(shè)直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k>2或k<-2，則C。

　　記A(x1，y1)，B(x2，y2)。

　　由得y1=，

　　同理得y2=，

　　由SOAB=|OC|·|y1-y2|=8，

　　即m2=4|4-k2|=4(k2-4)。

　　由得，(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0。

　　因?yàn)?-k2<0，

　　Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16)，又m2=4(k2-4)，

　　所以Δ=0，即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。

　　因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為=1。

　　解法二：(1)同解法一。