題型一、拋物線的定義及其應(yīng)用
例1：設(shè)P是拋物線y2=4x上的一動(dòng)點(diǎn)，
(1)求點(diǎn)P到A(-1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值;
(2)若B(3，2)，拋物線的焦點(diǎn)為F，求PB+PF的最小值。
破題切入點(diǎn)：畫出圖形，結(jié)合拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為共線問(wèn)題。
解：(1)由于A(-1，1)，F(xiàn)(1，0)，P是拋物線上的任意一點(diǎn)，則AP+PF≥AF==，從而知點(diǎn)P到A(-1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1，0)的距離之和的最小值為，所以點(diǎn)P到A(-1，1)的距離與P到直線x=-1的距離之和的最小值也為。
(2)如圖所示，自點(diǎn)B作BQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，此時(shí)P1Q=P1F，那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4，即PB+PF的最小值為4。
題型二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)
例2：(1)設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2=8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是________。
(2)如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬4 m。水位下降1 m后，水面寬________ m。
破題切入點(diǎn)：準(zhǔn)確求出拋物線方程并結(jié)合其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)作答。
答案：(1)(2，+∞)。(2)2
解析：(1)∵x2=8y，∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，2)，準(zhǔn)線方程為y=-2。由拋物線的定義知FM=y0+2。
以F為圓心、FM為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2。
由于以F為圓心、FM為半徑的圓與準(zhǔn)線相交，
又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4，故42。
(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0)，
則A(2，-2)，將其坐標(biāo)代入x2=-2py得p=1。
∴x2=-2y。
水位下降1 m，得D(x0，-3)(x0>0)，
將其坐標(biāo)代入x2=-2y，得x=6，
∴x0=�！嗨鎸扖D=2 m。
題型三、直線和拋物線的位置關(guān)系
例3：已知拋物線C：y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1，-2)。
(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程;
(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于?若存在，求直線l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
破題切入點(diǎn)：
(1)將點(diǎn)代入易求方程。
(2)假設(shè)存在，根據(jù)條件求出，注意驗(yàn)證。
解：(1)將(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，
所以p=2。
故所求的拋物線C的方程為y2=4x，
其準(zhǔn)線方程為x=-1。
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t。
由得y2+2y-2t=0。
因?yàn)橹本�l與拋物線C有公共點(diǎn)，
所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-。
由直線OA到l的距離d=，
可得=，
解得t=±1。
又因?yàn)?1[-，+∞)，1∈[-，+∞)，
所以符合題意的直線l存在，其方程為2x+y-1=0。
總結(jié)提高：
(1)拋物線沒(méi)有中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸且離心率為e=1，所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質(zhì)，可以借助幾何知識(shí)來(lái)解決。
(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將拋物線y2=2px關(guān)于y軸、直線x+y=0與x-y=0對(duì)稱變換可以得到拋物線的其他三種形式;或者將拋物線y2=2px繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)±90°或180°也可以得到拋物線的其他三種形式，這是它們的內(nèi)在聯(lián)系。
(3)拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
�、賧1y2=-p2，x1x2=;
�、谌糁本�AB的傾斜角為θ，則AB=;
�、廴鬎為拋物線焦點(diǎn)，則有+=。
1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，-2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為________。
答案：4或-4
解析：設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0)，
由定義知P到準(zhǔn)線的距離為4，故+2=4，所以p=4，
則方程為x2=-8y，代入P點(diǎn)坐標(biāo)得m=±4。
2.若拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，M(3，3)且與l相切的圓共有________個(gè)。
答案：1
解析：由題意得F(2，0)，l：x=-2，
線段MF的垂直平分線方程為y-=-(x-)，
即x+3y-7=0，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，
則圓心在x+3y-7=0上，故a+3b-7=0，a=7-3b，
由題意得|a-(-2)|=，
即b2=8a=8(7-3b)，即b2+24b-56=0。
又b>0，故此方程只有一個(gè)根，于是滿足題意的圓只有一個(gè)。
3.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P、Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，若△PQF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p的值是________。
答案：2±
解析：依題意得F(，0)，設(shè)P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2)。由拋物線定義及PF=QF，得+=+，∴y=y，∴y1=-y2。又PQ=2，因此|y1|=|y2|=1，點(diǎn)P(，y1)。又點(diǎn)P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得PF=+=2，由此解得p=2±。
4.(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________。
答案解析：由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(，0)，
因此直線AB的方程為y=(x-)，
即4x-4y-3=0。
方法一：聯(lián)立拋物線方程化簡(jiǎn)得4y2-12y-9=0，
故|yA-yB|==6。
因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=。
方法二：聯(lián)立方程得x2-x+=0，
故xA+xB=。
根據(jù)拋物線的定義有AB=xA+xB+p=12，
同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為h=，
因此S△OAB=AB·h=。
5.已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Q在圓C：x2+y2+2x-8y+13=0上，記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d+PQ的最小值為________。
