題型一、直線和橢圓的位置關(guān)系

　　例1：如圖所示，橢圓C1：+=1(a>b>0)的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的短軸長。C2與y軸的交點為M，過坐標(biāo)原點O的直線l與C2相交于點A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E。

　　(1)求C1，C2的方程;

　　(2)求證：MA⊥MB;

　　(3)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若=λ，求λ的取值范圍。

　　破題切入點：

　　(1)利用待定系數(shù)法求解曲線C1，C2的方程。

　　(2)設(shè)出直線AB和曲線C2聯(lián)立，利用坐標(biāo)形式的向量證明。

　　(3)將S1和S2分別表示出來，利用基本不等式求最值。

　　(1)解　由題意，a2=2b2。

　　又2=2b，得b=1。

　　所以曲線C2的方程：y=x2-1，橢圓C1的方程：+y2=1。

　　(2)證明：設(shè)直線AB：y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由題意，知M(0，-1)。

　　則x2-kx-1=0=(x1，y1+1)·(x2，y2+1)

　　=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

　　=-(1+k2)+k2+1=0，

　　所以MA⊥MB。

　　(3)解：設(shè)直線MA的方程：y=k1x-1，直線MB的方程：y=k2x-1，

　　由(2)知k1k2=-1，M(0，-1)，

　　由解得或

　　所以A(k1，k-1)。

　　同理，可得B(k2，k-1)。

　　故S1=MA·MB=·|k1||k2|。

　　由解得或

　　所以D。

　　同理，可得E。

　　故S2=MD·M

　　則λ的取值范圍是[，+∞)。

　　題型二、直線和雙曲線的位置關(guān)系

　　例2：已知雙曲線C：x2-y2=1及直線l：y=kx-1。

　　(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍;

　　(2)若l與C交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，且△AOB的面積為，求實數(shù)k的值。

　　破題切入點：

　　(1)聯(lián)立方程組，利用Δ>0求出k的取值范圍。

　　(2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系求解。

　　解：(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，

　　則方程組有兩個不同的實數(shù)根，

　　整理得(1-k2)x2+2kx-2=0。

　　∴解得-|x2|時，

　　S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

　　=|x1-x2|;

　　當(dāng)A，B在雙曲線的兩支上且x1>x2時，

　　S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

　　=|x1-x2|。

　　∴S△OAB=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，

　　即2+=8，解得k=0或k=±。

　　又∵-0，b>0)的上焦點為F，上頂點為A，B為虛軸的端點，離心率e=，且S△ABF=1-。拋物線N的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F。

　　(1)求雙曲線M和拋物線N的方程;

　　(2)設(shè)動直線l與拋物線N相切于點P，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點?如果是，試求出該點的坐標(biāo)，如果不是，請說明理由。

　　破題切入點：

　　(1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，用a，c表示已知條件，建立方程組即可求解雙曲線的方程，然后根據(jù)拋物線的焦點求出拋物線的方程。

　　(2)設(shè)出點P的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，并求出點Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓的性質(zhì)列出關(guān)于點P的坐標(biāo)的方程，將問題轉(zhuǎn)化為方程恒成立的問題來解決。

　　解：(1)在雙曲線中，c=，

　　由e=，得=，

　　解得a=b，故c=2b。

　　所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

　　=1-，解得b=1。

　　所以a=，c=2，其上焦點為F(0，2)。

　　所以雙曲線M的方程為-x2=1，

　　拋物線N的方程為x2=8y。

　　(2)由(1)知拋物線N的方程為y=x2，

　　故y′=x，拋物線的準(zhǔn)線為y=-2。

　　設(shè)P(x0，y0)，則x0≠0，y0=x，

　　且直線l的方程為y-x=x0(x-x0)，

　　即y=x0x-x。由得

　　所以Q(，-2)。

　　假設(shè)存在點R(0，y1)，使得以PQ為直徑的圓恒過該點，

　　也就是·=0對于滿足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立。

　　由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，

　　由=0，

　　得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0，

　　整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0，

　　即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0，

　　由于式對滿足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，

　　所以解得y1=2。

　　故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點，定點坐標(biāo)為(0，2)。

　　總結(jié)提高：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，萬變不離其宗，構(gòu)建屬于自己的解題模板，形成一定的解題思路，利用數(shù)形結(jié)合思想來加以解決。

　　1.設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，直線l過F且與拋物線C交于M，N兩點，已知當(dāng)直線l與x軸垂直時，△OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點)。

　　(1)求拋物線C的方程;

　　(2)是否存在直線l，使得以MN為對角線的正方形的第三個頂點恰好在y軸上，若存在，求直線l的方程;若不存在，請說明理由。

　　解：(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時，則|MN|=2p，

　　∴S△OMN=·2p·==2，即p=2。

　　∴拋物線C的方程為y2=4x。

　　(2)∵直線l與x軸垂直時，不滿足。設(shè)正方形的第三個頂點為P。

　　故可設(shè)直線l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，

　　聯(lián)立可化簡得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

　　則代入直線l可得MN的中點為，

　　則線段MN的垂直平分線為y-=-(x-1-)，

　　故P(0，+)。

　　又=0，則x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0。

　　即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0。

　　1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，

　　由y0=+代入上式，化簡得(3k4-4)(k2+1)=0。

　　解得k=± �！啻嬖谥本�l：y=± (x-1)。

　　2.(2013·廣東)已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c>0)到直線l：x-y-2=0的距離為。設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點。

　　(1)求拋物線C的方程;

　　(2)當(dāng)點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程;

　　(3)當(dāng)點P在直線l上移動時，求AF·BF的最小值。

　　解：(1)依題意知=，c>0，解得c=1。

　　所以拋物線C的方程為x2=4y。

　　(2)由y=x2得y′=x，

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，

　　所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1)，

　　即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0。

　　同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0，

　　又點P(x0，y0)在切線PA和PB上，

　　所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

　　所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x-2y0-2y=0 的兩組解，

　　所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0。

　　(3)由拋物線定義知AF=y1+1，BF=y2+1，

　　所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1，

　　聯(lián)立方程

　　消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0，

　　∴y1+y2=x-2y0，y1y2=y，

　　∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1

　　=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5

　　=22+，

　　∴當(dāng)y0=-時，AF·BF取得最小值，且最小值為。