題型一、利用歸納推理求解相關(guān)問題

　　例1：如圖所示，是某小朋友在用火柴拼圖時呈現(xiàn)的圖形，其中第1個圖形用了3根火柴，第2個圖形用了9根火柴，第3個圖形用了18根火柴…，則第2014個圖形用的火柴根數(shù)為________。

　　破題切入點：觀察圖形的規(guī)律，寫成代數(shù)式歸納可得。

　　答案：3021×2015

　　解析：由題意，第1個圖形需要火柴的根數(shù)為3×1;

　　第2個圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1+2);

　　第3個圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1+2+3);

　　……

　　由此，可以推出，第n個圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1+2+3+…+n)。

　　所以第2014個圖形所需火柴的根數(shù)為3×(1+2+3+…+2014)

　　=3×=3021×2015。

　　題型二、利用類比推理求解相關(guān)問題

　　例2：如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個角，截下的是一個直角三角形，有勾股定理c2=a2+b2�？臻g中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面中的結(jié)論有________。

　　破題切入點：由平面圖形中各元素到空間幾何體中各元素的類比。

　　答案：S2=S+S+S

　　解析：建立從平面圖形到空間圖形的類比，在由平面幾何的性質(zhì)類比推理空間立體幾何的性質(zhì)時，注意平面幾何中點的性質(zhì)可類比推理空間幾何中線的性質(zhì)，平面幾何中線的性質(zhì)可類比推理空間幾何中面的性質(zhì)，平面幾何中面的性質(zhì)可類比推理空間幾何中體的性質(zhì)。所以三角形類比空間中的三棱錐，線段的長度類比圖形的面積，于是作出猜想：S2=S+S+S。

　　總結(jié)提高：

　　(1)歸納推理的三個特點

　�、贇w納推理的前提是幾個已知的特殊對象，歸納所得到的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍;

　　②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否準確，還需要經(jīng)過邏輯推理和實踐檢驗，因此歸納推理不能作為數(shù)學證明的工具;

　　③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

　　(2)類比推理的一般步驟

　�、俣�類，即找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征;

　　②推測，即用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想;

　　③檢驗，即檢驗猜想的正確性，要將類比推理運用于簡單推理之中，在不斷的推理中提高自己的觀察、歸納、類比能力。

　　1.已知x>0，觀察不等式x+≥2=2，x+=++≥3=3，…，由此可得一般結(jié)論：x+≥n+1(n∈N*)，則a的值為________.

　　答案：nn

　　解析：根據(jù)已知，續(xù)寫一個不等式：

　　x+=+++≥4=4，由此可得a=nn。

　　2.在平面內(nèi)點O是直線AB外一點，點C在直線AB上，若=λ+μ，則λ+μ=1;類似地，如果點O是空間內(nèi)任一點，點A，B，C，D中任意三點均不共線，并且這四點在同一平面內(nèi)，若=x+y+z，則x+y+z=________。

　　答案：-1

　　解析：在平面內(nèi)，由三角形法則，得=-，=-。

　　因為A，B，C三點共線，

　　所以存在實數(shù)t，使=t，

　　即-=t(-)，

　　所以=-+(+1)。

　　因為=λ+μ，

　　所以λ=-，μ=+1，

　　所以λ+μ=1。

　　類似地，在空間內(nèi)可得=λ+μ+η，λ+μ+η=1。

　　因為=-，所以x+y+z=-1。

　　3.觀察下列各式：55=3 12556=15 625，57=78 125，58=390 625，59=1 953 125，…，則52 014的末四位數(shù)字為________.

　　答案：5625

　　解析：由觀察易知55的末四位數(shù)字為3125，56的末四位數(shù)字為5625，57的末四位數(shù)字為8125，58的末四位數(shù)字為0625，59的末四位數(shù)字為3125，故周期T=4。又由于2 014=503×4+2，因此52 014的末四位數(shù)字是5625。

　　4.觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，則a10+b10=________。

　　答案：123

　　解析：記an+bn=f(n)，則f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;

　　f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;

　　f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;

　　f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;

　　f(10)=f(8)+f(9)=123，即a10+b10=123。

　　5.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是________。

　　答案：正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的

　　解析：設正四面體的每個面的面積是S，高是h，內(nèi)切球半徑為R，

　　由體積分割可得：SR×4=Sh，

　　所以R=h。

　　6.觀察下列等式：

　　(1+1)=2×1

　　(2+1)(2+2)=22×1×3

　　(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

　　…

　　照此規(guī)律，第n個等式可為______________。

　　答案：(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)

　　解析：由已知的三個等式左邊的變化規(guī)律，得第n個等式左邊為(n+1)(n+2)…(n+n)，由已知的三個等式右邊的變化規(guī)律，得第n個等式右邊為2n與n個奇數(shù)之積，即2n×1×3×…×(2n-1)。

　　7.(2013·湖北)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為=n2+n，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：

　　三角形數(shù)N(n，3)=n2+n，

　　正方形數(shù)N(n，4)=n2，

　　五邊形數(shù)N(n，5)=n2-n，

　　六邊形數(shù)N(n，6)=2n2-n

　　……

　　可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10，24)=____________________________________.

　　答案：1 000

　　解析：由N(n，4)=n2，N(n，6)=2n2-n，可以推測：當k為偶數(shù)時，N(n，k)=n2+n，

　　∴N(10，24)=×100+×10=1 100-100=1 000。

　　8.兩點等分單位圓時，有相應正確關(guān)系為sin α+sin(π+α)=0;三點等分單位圓時，有相應正確關(guān)系為sin α+sin(α+)+sin(α+)=0.由此可以推知：四點等分單位圓時的相應正確關(guān)系為________________________。

　　答案：sin α+sin(α+)+sin(α+π)+sin(α+)=0

　　解析：由類比推理可知，四點等分單位圓時，α與α+π的終邊互為反向延長線，α+與α+的終邊互為反向延長線。

　　9.(2013·陜西)觀察下列等式

　　12=1，

　　12-22=-3，

　　12-22+32=6，

　　12-22+32-42=-10，

　　…

　　照此規(guī)律，第n個等式可為________。

　　答案：12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1。

　　解析：觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數(shù)都是2，且正、負相間，所以等式左邊的通項為(-1)n+1n2。等式右邊的值的符號也是正、負相間，其絕對值分別為1，3，6，10，15，21，…設此數(shù)列為{an}，則a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，a5-a4=5，…，an-an-1=n，各式相加得an-a1=2+3+4+…+n，即an=1+2+3+…+n=。所以第n個等式為12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1。

　　10.如圖1是一個邊長為1的正三角形，分別連結(jié)這個三角形三邊中點，將原三角形剖分成4個三角形(如圖2)，再分別連結(jié)圖2中一個小三角形三邊的中點，又可將原三角形剖分成7個三角形(如圖3)，…，依此類推。設第n個圖中原三角形被剖分成an個三角形，則第4個圖中最小三角形的邊長為________;a100=________。

　　答案：298

　　解析：由三角形的生成規(guī)律得，后面的每一個圖形中小三角形的邊長均等于前一個圖形中小三角形邊長的，即最小三角形的邊長是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，則第4個圖中最小三角形的邊長等于1×=，由a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=3可得，數(shù)列{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，則a100=a1+99×3=1+297=298。

　　11.觀察下列不等式：

　　1+<，

　　1++<，

　　1+++<，

　　…

　　照此規(guī)律，第五個不等式為________。

　　答案：1+++++<

　　解析：觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分數(shù)的分母與右端值的分母相等，且每行右端分數(shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列。

　　∴第五個不等式為1+++++<。

　　12.(2014·陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：

　　多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱5、6、9五棱錐6、6、10立方體6、8、12猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是____________。

　　答案：F+V-E=2

　　解析：觀察F，V，E的變化得F+V-E=2。