10.已知P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：-=1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.

　　(1)求雙曲線的離心率;

　　(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足=λ+，求λ的值.

　　解析：(1)點P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上，有-=1.

　　由題意有·=，可得a2=5b2，

　　c2=a2+b2=6b2，則e==.

　　(2)聯(lián)立得

　　4x2-10cx+35b2=0.

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

　　設(shè)=(x3，y3)，=λ+，

　　即

　　又C為雙曲線上一點，即x-5y=5b2，有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2，

　　化簡得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.

　　又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，

　　所以x-5y=5b2，x-5y=5b2.

　　由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2，

　　得λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=-4.

　　11.已知拋物線C：y2=x，過點A(x0,0)作直線l交拋物線于點P，Q(點P在第一象限).

　　(1)當(dāng)點A是拋物線C的焦點，且弦長|PQ|=2時，求直線l的方程;

　　(2)設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為M，直線PM交x軸于點B，且BPBQ.求證：點B的坐標是(-x0,0)，并求點B到直線l的距離d的取值范圍.

　　解析：(1)由拋物線C：y2=x，得拋物線的焦點坐標為，設(shè)直線l的方程為x=ny+，P(x1，y1)，Q(x2，y2).

　　由得y2-ny-=0.

　　所以Δ=n2+1>0，y1+y2=n.

　　因為x1=ny1+，x2=ny2+，

　　所以|PQ|=x1++x2+=x1+x2+

　　=n(y1+y2)+1=2.

　　所以n2=1，即n=±1.

　　所以直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.

　　即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0.

　　(2)設(shè)l：x=my+x0(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　則M(x2，-y2).

　　由消去x，得y2-my-x0=0.

　　因為x0≥，所以Δ=m2+4x0>0，

　　y1+y2=m，y1y2=-x0.

　　解法一：設(shè)B(xB,0)，則=(x2-xB，-y2)，=(x1-xB，y1).

　　由題意知，

　　x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2，

　　即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=yy2+yy1=(y1+y2)y1y2.

　　顯然y1+y2=m≠0， xB=y1y2=-x0，

　　B(-x0,0).

　　由題意知，MBQ為等腰直角三角形，

　　kPB=1，即=1，也即=1，

　　y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1，

　　即m2+4x0=1， m2=1-4x0>0， x0<.

　　x0≥， ≤x0<.

　　d===

　　=.

　　∴ d的取值范圍是.

　　解法二：因為直線l：y-y1=(x-x1)，

　　所以令y=0，則

　　x=x1-=x1-

　　=x1-y+y1y2=-x0，

　　B(-x0,0).

　　由題意知，MBQ為等腰直角三角形，

　　kPB=1，即=1，

　　y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1，

　　即m2+4x0=1，

　　m2=1-4x0.

　　x0≥， 0

　　d===

　　=

　　=.

　　∴ d的取值范圍是.

　　12.如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點.

　　(1)求實數(shù)m的取值范圍;

　　(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形.

　　解析：(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，

　　由題意得

　　∴ 橢圓方程為+=1.

　　由題意可得直線l的方程為y=x+m(m≠0)，

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　則點A，B的坐標是方程組的兩組解.

　　消去y得x2+2mx+2m2-4=0.

　　Δ=4m2-4(2m2-4)>0， -2

　　又 m≠0， 實數(shù)m的取值范圍為(-2,0)(0,2).

　　(2)證明：由題意可設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，

　　由(1)得x2+2mx+2m2-4=0，

　　x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，

　　k1+k2=+

　　=

　　=

　　==0，

　　直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形.