11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，設點F(0，p)(p>0)，直線l：y=-p，點P在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點，過R，P分別作直線l1，l2，使l1PF，l2l，l1∩l2=Q.

　　(1)求動點Q的軌跡C的方程;

　　(2)在直線l上任取一點M作曲線C的兩條切線，設切點為A，B，求證：直線AB恒過一定點;

　　(3)對(2)求證：當直線MA，MF，MB的斜率存在時，直線MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

　　解題思路：本題考查軌跡方程的求法及直線與拋物線的位置關系.(1)利用拋物線的定義即可求出拋物線的標準方程;(2)利用導數(shù)及方程根的思想得出兩切點的直線方程，進一步求出直線恒過的定點;(3)分別利用坐標表示三條直線的斜率，從而化簡證明即可.

　　解析：(1)依題意知，點R是線段PF的中點，且RQ⊥FP，

　　RQ是線段FP的垂直平分線. |QP|=|QF|.故動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為：x2=4py(p>0).

　　(2)設M(m，-p)，兩切點為A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　由x2=4py得y=x2，求導得y′=x.

　　兩條切線方程為y-y1=x1(x-x1)，

　　y-y2=x2(x-x2)，

　　對于方程，代入點M(m，-p)得，

　　-p-y1=x1(m-x1)，又y1=x，

　　-p-x=x1(m-x1)，

　　整理得x-2mx1-4p2=0.

　　同理對方程有x-2mx2-4p2=0，

　　即x1，x2為方程x2-2mx-4p2=0的兩根.

　　x1+x2=2m，x1x2=-4p2.

　　設直線AB的斜率為k，k===(x1+x2)，

　　所以直線的方程為y-=(x1+x2)(x-x1)，展開得：

　　y=(x1+x2)x-，

　　將代入得：y=x+p.

　　直線恒過定點(0，p).

　　(3)證明：由(2)的結論，設M(m，-p)，A(x1，y1)，B(x2，y2)且有x1+x2=2m，x1x2=-4p2，

　　kMA=，kMB=.

　　+=+

　　=+=+

　　=+=

　　===-.

　　又 ==-，

　　所以+=.

　　即直線的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

　　規(guī)律總結：從近幾年課標地區(qū)的高考命題來看，解析幾何綜合題主要考查直線和圓錐曲線的位置關系以及范圍、最值、定點、定值、存在性等問題，近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)以函數(shù)、平面向量、導數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何、數(shù)學思想方法等知識為背景，綜合考查運用圓錐曲線的有關知識分析問題、解決問題的能力.

　　12.已知點F(0,1)，直線l：y=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且·=·.

　　(1)求動點P的軌跡C的方程;

　　(2)已知圓M過定點D(0,2)，圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A，B兩點，設|DA|=l1，|DB|=l2，求+的最大值.

　　解題思路：本題考查軌跡的求法、向量的運算、基本不等式的運用.(1)利用直接法及數(shù)量積的坐標運算即可得到動點的軌跡方程;(2)先設出圓的方程，求出點A，B坐標，然后利用基本不等式求出所給式子的最大值.

　　解析：(1)設P(x，y)，則Q(x，-1)，

　　·=·，

　　(0，y+1)·(-x,2)=(x，y-1)·(x，-2).

　　即2(y+1)=x2-2(y-1)，即x2=4y，

　　所以動點P的軌跡C的方程為x2=4y.

　　(2)設圓M的圓心坐標為M(a，b)，

　　則a2=4b.

　　圓M的半徑為|MD|=.

　　圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=a2+(b-2)2.

　　令y=0，則(x-a)2+b2=a2+(b-2)2，

　　整理得，x2-2ax+4b-4=0.

　　由，解得，x=a±2.

　　不妨設A(a-2,0)，B(a+2,0)，

　　l1=，l2=.

　　+===2

　　=2，

　　當a≠0時，由得，+=2

　　≤2=2.

　　當且僅當a=±2時，等號成立.

　　當a=0時，由得，+=2.

　　故當a=±2時，+的最大值為2.

　　規(guī)律總結：本題立足基礎概括了解析幾何的大部分內(nèi)容，并融入了向量的知識.通過解析幾何自身的特點，結合相應的數(shù)學知識綜合考查.解決此類問題要熟練運用解析幾何的經(jīng)典思維，化繁為簡，逐步解決.

　　13.已知拋物線y2=4x的焦點為F2，點F1與F2關于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸(垂足為T)，與拋物線交于不同的兩點P，Q，且·=-5.

　　(1)求點T的橫坐標x0;

　　(2)若以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓C過點.

　　求橢圓C的標準方程;

　　過點F2作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設=λ，若λ[-2，-1]，求|+|的取值范圍.

　　解析：(1)由題意得F2(1,0)，F(xiàn)1(-1,0)，

　　設P(x0，y0)，Q(x0，-y0)，

　　則=(x0+1，y0)，=(x0-1，-y0).

　　由·=-5，得x-1-y=-5，

　　即x-y=-4，

　　又P(x0，y0)在拋物線上，則y=4x0，

　　聯(lián)立、解得x0=2.

　　(2)設橢圓的半焦距為c，由題意得c=1，

　　設橢圓C的標準方程為+=1(a>b>0)，

　　則+=1，

　　a2=b2+1.

　　將代入，解得b2=1或b2=-(舍去)，

　　所以a2=b2+1=2.

　　故橢圓C的標準方程為+y2=1.

　　方法一：容易驗證直線l的斜率不為0，設直線l的方程為x=ky+1，

　　將直線l的方程代入+y2=1中得：

　　(k2+2)y2+2ky-1=0.

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠0且y2≠0，

　　則由根與系數(shù)的關系，可得：

　　y1+y2=-，

　　y1y2=-.

　　因為=λ，所以=λ，且λ<0.

　　將式平方除以式，得：

　　++2=-λ++2=-.

　　由λ[-2，-1]-≤λ+≤-2-≤λ++2≤0-≤-≤0，

　　所以0≤k2≤.

　　因為=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，

　　所以+=(x1+x2-4，y1+y2)，

　　又y1+y2=-，

　　所以x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-.

　　故|+|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2

　　=+

　　=

　　=16-+，

　　令t=，所以0≤k2≤.

　　所以≤≤，即t，

　　所以|+|2=f(t)=8t2-28t+16

　　=82-.

　　而t，所以f(t).

　　所以|+|∈.

　　方法二：當直線l斜率不存在時，即λ=-1時，A，B，

　　又T(2,0)，

　　所以|+|=+=2.

　　當直線l的斜率存在時，即λ[-2，-1)時，

　　設直線l的方程為y=k(x-1)，

　　由得

　　(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，顯然y1≠0，y2≠0，則由根與系數(shù)的關系，

　　可得：x1+x2=，x1x2=.

　　y1+y2=k(x1+x2)-2k=，

　　y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=.⑥

　　因為=λ，所以=λ，且λ<0.

　　將式平方除以式得：

　　λ++2=.

　　由λ[-2，-1)，得λ+，

　　即λ++2，

　　故-≤<0，解得k2≥.

　　因為=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，

　　所以+=(x1+x2-4，y1+y2)，

　　又x1+x2-4=，

　　故|+|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2

　　=+

　　=

　　=4++.

　　令t=，因為k2≥，

　　所以0<≤，即t，

　　所以|+|2=2t2+10t+4=22-.

　　所以|+|，

　　綜上所述，|+|.