一、選擇題

　　1.已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1=b1，a4=b4，a10=b10，則a1和d的值分別為(　　)

　　A.1 B.-2

　　C.2 D.-1

　　答案：D　解題思路：由得由兩式得a1=，代入式中，+3d=·d3，化簡得d9-3d3+2=0，

　　即(d3-1)(d6+d3-2)=0，

　　d≠1，由d6+d3-2=0，得d=-，a1=-d=.

　　2.已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an，nN*，且a5=.若函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2，記yn=f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項和為(　　)

　　A.0 B.-9

　　C.9 D.1

　　答案：C　命題立意：本題考查等差數(shù)列的定義與性質及誘導公式的應用，考查綜合分析能力，難度中等.

　　解題思路：據(jù)已知得2an+1=an+an+2，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又f(x)=sin 2x+2×=sin 2x+1+cos x，因為a1+a9=a2+a8=…=2a5=π，故cos a1+cos a9=cos a2+cos a8=…=cos a5=0，又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π，故sin 2a1+sin 2a9=sin 2a2+sin 2a8=…=sin 2a5=0，故數(shù)列{yn}的前9項之和為9，故選C.

　　3.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n≥2)，a1=1，a2=3，記Sn=a1+a2+…+an，則下列結論正確的是(　　)

　　A.a100=-1，S100=5 B.a100=-3，S100=5

　　C.a100=-3，S100=2 D.a100=-1，S100=2

　　答案：A　命題立意：本題考查數(shù)列的性質與求和，難度中等.

　　解題思路：依題意，得an+2=an+1-an=-an-1，即an+3=-an，an+6=-an+3=an，數(shù)列{an}的項是以6為周期重復性地出現(xiàn)，且a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=0;注意到100=6×16+4，因此S100=16×0+a1+a2+a3+a4=(a1+a4)+a2+a3=a2+(a2-a1)=2a2-a1=5，a100=a4=-a1=-1，故選A.

　　4.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn是數(shù)列{an}前n項的和，則(nN*)的最小值為(　　)

　　A.4 B.3

　　C.2-2 D.

　　答案：A　命題立意：本題考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式以及均值不等式的應用，難度中等.

　　解題思路：據(jù)題意由a1，a3，a13成等比數(shù)列可得(1+2d)2=1+12d，解得d=2，故an=2n-1，Sn=n2，因此====(n+1)+-2，根據(jù)均值不等式，知=(n+1)+-2≥2-2=4，當n=2時取得最小值4，故選A.

　　5.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若-am

　　A.Sm>0，且Sm+1<0 B.Sm<0，且Sm+1>0

　　C.Sm>0，且Sm+1>0 D.Sm<0，且Sm+1<0

　　答案：A　命題立意：本題考查等差數(shù)列的性質及前n項和公式的應用，難度中等.

　　解題思路：據(jù)已知可得a1+am>0，a1+am+1<0，又Sm=>0，Sm+1=<0，故選A.

　　6.在數(shù)列{an}中，an+1=can(c為非零常數(shù))，前n項和為Sn=3n+k，則實數(shù)k為(　　)

　　A.-1 B.0

　　C.1 D.2

　　答案：A　命題立意：本題考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列的前n項和公式與通項間的關系，難度中等.

　　解題思路：依題意得，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=3+k，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=18,62=18(3+k)，解得k=-1，故選A.

　　二、填空題

　　7.已知數(shù)列{an}的首項為2，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(nN*).若b2=-2，b7=8，則a8=________.

　　答案：16　解題思路： {bn}為等差數(shù)列，且b2=-2，b7=8，設其公差為d，

　　b7-b2=5d，即8+2=5d. d=2.

　　bn=-2+(n-2)×2=2n-6.

　　an+1-an=2n-6.

　　由a2-a1=2×1-6，a3-a2=2×2-6，…，an-an-1=2×(n-1)-6，累加得：an-a1=2×(1+2+…+n-1)-6(n-1)=n2-7n+6，

　　an=n2-7n+8. a8=16.

　　8.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項ak1，ak2，ak3，…構成等比數(shù)列，且k1=1，k2=2，k3=6，則k4=________.

　　答案：22　命題立意：本題考查等差與等比數(shù)列的定義與通項公式的應用，難度中等.

　　解題思路：據(jù)題意知等差數(shù)列的a1，a2，a6成等比數(shù)列，設等差數(shù)列的公差為d，則有(a1+d)2=a1(a1+5d)，

　　解得d=3a1，故a2=4a1，a6=16a1ak4=64a1=a1+(k4-1)(3a1)，解得k4=22.

　　9.已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則的最小值為________.

　　答案：　命題立意：本題主要考查累加法，難度中等.

　　解題思路：因為a1=33，an+1-an=2n，故利用累加法表示.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1，那么可知==n+-1，借助于函數(shù)的性質可知當n=6時，取得最小值為.

　　10.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為an=________.

　　答案：　命題立意：本題主要考查等差數(shù)列的定義與通項公式等知識，意在考查考生的觀察能力、化歸與轉化能力、運算能力.

　　解題思路：依題意，得-=(n≥2)，因此數(shù)列是以1為首項、為公差的等差數(shù)列，于是有=1+(n-1)，an=.

　　三、解答題

　　11.已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和，S，S，…，S，…是以3為首項，以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列，其前四項之和為120，第二項與第四項之和為90.

　　(1)求an，bn;

　　(2)從數(shù)列中能否挑出唯一的無窮等比數(shù)列，使它的各項和等于?若能的話，請寫出這個數(shù)列的第一項和公比;若不能的話，請說明理由.

　　解析：(1){S}是以3為首項，以1為公差的等差數(shù)列，

　　所以S=3+(n-1)=n+2.

　　因為an>0，所以Sn=(nN*).

　　當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-，

　　又a1=S1=，

　　所以an=(nN*).

　　設{bn}的首項為b1，公比為q，則有

　　所以即bn=3n(nN*).

　　(2)=n，設可以挑出一個無窮等比數(shù)列{cn}，

　　首項為c1=p，公比為k(p，kN*)，它的各項和等于=，則有=，

　　所以p=.

　　當p≥k時，3p-3p-k=8，即3p-k(3k-1)=8，

　　因為p，kN*，所以只有當p-k=0，k=2，即p=k=2時，數(shù)列{cn}的各項和為.

　　當pp，右邊含有3的因數(shù)，而左邊非3的倍數(shù)，故不存在p，kN*，所以存在唯一的等比數(shù)列{cn}，首項為，公比為，使它的各項和等于.

　　12.已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，對任意的nN*，有an+1=a1+a2+…+an-1+an+.

　　(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)設數(shù)列{bn}滿足：bn=(log3 a1+log3 a2+…+log3 an+log3 t)(nN*)，若{bn}為等差數(shù)列，求實數(shù)t的值及數(shù)列{bn}的通項公式.

　　解析：(1)解法一：設{an}的公比為q，

　　則由題設，得

　　即

　　由-，得a1q2-a1q=-a1+a1q，

　　即2a1q2-7a1q+3a1=0.

　　a1≠0， 2q2-7q+3=0，

　　解得q=(舍去)或q=3.

　　將q=3代入，得a1=1，

　　an=3n-1.

　　解法二：設{an}的公比為q，則由已知，得

　　a1qn=+a1qn-1+，

　　即a1qn=qn-+，

　　比較系數(shù)得

　　解得(舍去)或 an=3n-1.

　　(2)由(1)，得

　　bn=(log3 30+log3 31+…+log3 3n-1+log3 t)

　　=[1+2+…+(n-1)+log3 t]

　　=

　　=+log3 t.

　　{bn}為等差數(shù)列，

　　bn+1-bn等于一個與n無關的常數(shù)，

　　而bn+1-bn=-+log3 t

　　=-log3 t，

　　log3 t=0， t=1，此時bn=.

　　13.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-an-n-1+2(nN*)，數(shù)列{bn}滿足bn=2n·an.

　　(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式;

　　(2)設cn=log2，數(shù)列的前n項和為Tn，求滿足Tn<(nN*)的n的最大值.

　　解析：(1)證明：在Sn=-an-n-1+2中，

　　令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，得a1=.

　　當n≥2時，Sn-1=-an-1-n-2+2，

　　an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1，

　　即2an=an-1+n-1.

　　2n·an=2n-1·an-1+1.

　　bn=2n·an， bn=bn-1+1.

　　又b1=2a1=1， {bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

　　于是bn=1+(n-1)·1=n， an=.

　　(2) cn=log2=log22n=n，

　　==-.

　　Tn=++…+=1+--.

　　由Tn<，得1+--<，即+>，f(n)=+單調遞減，

　　f(3)=，f(4)=，f(5)=，

　　n的最大值為4.