一、非標(biāo)準(zhǔn)
1.C 解析:|PM|-|PN|=3<4,
∴由雙曲線定義知,其軌跡為雙曲線的一支.
又|PM|>|PN|,∴點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支.
2.C 解析:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1,a2=1,b2=.
∴c2=a2+b2=.
∴c=,故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
3.C 解析:e=2,∴=2.
設(shè)焦點(diǎn)F2(c,0)到漸近線y=x的距離為,
漸近線方程為bx-ay=0,
.
∵c2=a2+b2,∴b=.
由=2,得=2,
=4,
解得c=2.焦距2c=4,故選C.
4.A 解析:如圖所示,在RtOPF中,OMPF,且M為PF的中點(diǎn),
則POF為等腰直角三角形.
所以O(shè)MF也是等腰直角三角形.
所以有|OF|=|OM|,即c=a.
故e=.
5.A 解析:由=0,可知.
可設(shè)||=t1,||=t2,
則t1t2=2.
在MF1F2中,=40,
則|t1-t2|=
==6=2a.
解得a=3.故所求雙曲線方程為-y2=1.
6.A 解析:雙曲線的離心率為2,=2,
∴a∶b∶c=1∶∶2.
又
∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,
∴|F1F2|=2c=4a,
∴cos∠AF2F1
=
=,
選A.
7.4 解析:由題意點(diǎn)M的坐標(biāo)可求得為M(3,±),雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F2(4,0).
由兩點(diǎn)間的距離公式得|F2M|==4.
8. 解析:如圖所示,設(shè)雙曲線方程為=1,取其上一點(diǎn)P(m,n),
則Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)·(m+a,-n)=0,
化簡(jiǎn)得a2-m2+n2=0.
又=1可得b=a,
故雙曲線的離心率為e=.
9.(1)解:因?yàn)閑=,
所以可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ.
因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4,-),
所以16-10=λ,即λ=6.
所以雙曲線方程為=1.
(2)證明:由(1)可知,在雙曲線中a=b=,所以c=2.
所以F1(-2,0),F2(2,0).
所以=(-2-3,-m),
=(2-3,-m),
則=9-12+m2=m2-3.
因?yàn)辄c(diǎn)(3,m)在雙曲線上,
所以9-m2=6,即m2=3.
所以=m2-3=0.
(3)解:由 (2)知F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=,由F1MF2的底邊|F1F2|=4,
則=6.
10.解:(1)由|PM|-|PN|=2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,實(shí)半軸長(zhǎng)a=.
又焦距2c=4,所以虛半軸長(zhǎng)b=.
所以W的方程為=1(x≥). (2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).
當(dāng)ABx軸時(shí),x1=x2,y1=-y2,
從而=x1x2+y1y2==2.
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(k≠±1),與W的方程聯(lián)立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,
則x1+x2=,x1x2=,
所以=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=+m2
==2+.
又因?yàn)閤1x2>0,所以k2-1>0.
所以>2.
綜上所述,當(dāng)ABx軸時(shí),取得最小值2.
11.C 解析:設(shè)等軸雙曲線方程為x2-y2=m(m>0),
因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線為x=-4,
且|AB|=4,所以|yA|=2.
把坐標(biāo)(-4,2)代入雙曲線方程得m=x2-y2=16-12=4,
所以雙曲線方程為x2-y2=4,
即=1.
所以a2=4,所以實(shí)軸長(zhǎng)2a=4.
12.B 解析:設(shè)PF1F2內(nèi)切圓半徑為r,根據(jù)已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r,
整理可得|PF1|=|PF2|+2λc.
由雙曲線的定義可得
|PF1|-|PF2|=2a,
則2λc=2a,故λ=.
13.B 解析:由a2+1=4,得a=,
則雙曲線方程為-y2=1.
設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則=1,
即-1.
=x0(x0+2)+
=+2x0+-1
=,
x0≥,∴當(dāng)x0=時(shí),取最小值3+2.故的取值范圍是[3+2,+∞).
14. 解析:雙曲線=1的兩條漸近線方程分別是y=x和y=-x.
由
解得A,
由
解得B.
設(shè)AB中點(diǎn)為E,
則E.
由于|PA|=|PB|,所以PE與直線x-3y+m=0垂直,
而kPE=,
于是=-1.
所以a2=4b2=4(c2-a2).
所以4c2=5a2,解得e=.
15.解:(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2.從而a1=1,c2=1.
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2-=1上,所以=1.故=3.
由橢圓的定義知2a2
==2.
于是a2==2.
故C1,C2的方程分別為x2-=1,=1.
(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.
若直線l垂直于x軸,因?yàn)閘與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線l的方程為x=或x=-.
當(dāng)x=時(shí),易知A(),B(,-),
所以||=2,||=2.
此時(shí),||≠|(zhì)|.
當(dāng)x=-時(shí),
同理可知,||≠|(zhì)|.
若直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為y=kx+m.
由
得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
當(dāng)l與C1相交于A,B兩點(diǎn)時(shí),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,
從而x1+x2=,x1x2=.
于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.
因?yàn)橹本�l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以上述方程的判別式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.
化簡(jiǎn),得2k2=m2-3,
因此=x1x2+y1y2=≠0,
于是+2-2,
即||≠|(zhì)|,
故||≠|(zhì)|.
綜合,②可知,不存在符合題設(shè)條件的直線.
16.解法一:(1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y=2x,y=-2x,
所以=2,所以=2,
故c=a,
從而雙曲線E的離心率e=.
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為=1.
設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.
當(dāng)lx軸時(shí),若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
則|OC|=a,|AB|=4a,
又因?yàn)镺AB的面積為8,
所以|OC|·|AB|=8,
因此a·4a=8,解得a=2,
此時(shí)雙曲線E的方程為=1.
若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為=1.
以下證明:當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),雙曲線E:=1也滿足條件.
設(shè)直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<-2,則C.
記A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y1=,
同理得y2=,
由SOAB=|OC|·|y1-y2|得,
=8,
即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由得,
(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因?yàn)?-k2<0,
Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
因此,存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程為=1.
解法二:(1)同解法一.
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為=1.
設(shè)直線l的方程為x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
依題意得-2或k<-2.
由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
因?yàn)?-k2<0,Δ>0,
所以x1x2=,
又因?yàn)镺AB的面積為8,
所以|OA|·|OB|·sinAOB=8,
由已知sinAOB=,
所以=8,化簡(jiǎn)得x1x2=4.
所以=4,即m2=4(k2-4).
由(1)得雙曲線E的方程為=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
因?yàn)?-k2<0,直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,
所以雙曲線E的方程為=1.
當(dāng)lx軸時(shí),由OAB的面積等于8可得l:x=2,又易知l:x=2與雙曲線E:=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
綜上所述,存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且E的方程為=1.
