1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與共線?如果存在，求k值;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)由已知條件，得直線l的方程為y=kx+，
代入橢圓方程得+(kx+)2=1.
整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①
直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0，
解得k<-或k>.
即k的取值范圍為(-∞，-)∪(，+∞).
(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則+=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，得x1+x2=-.②
又y1+y2=k(x1+x2)+2.③
而A(，0)，B(0,1)，=(-，1).
所以+與共線等價(jià)于x1+x2=-(y1+y2)，
將②③代入上式，解得k=.
由(1)知k<-或k>，
故不存在符合題意的常數(shù)k.
2.已知雙曲線方程為x2-=1，問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且M是線段PQ的中點(diǎn)?如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 顯然x=1不滿足條件，設(shè)l：y-1=k(x-1).
聯(lián)立y-1=k(x-1)和x2-=1，
消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0，
由Δ>0，得k<，x1+x2=，
由M(1,1)為PQ的中點(diǎn)，得==1，
解得k=2，這與k<矛盾，
所以不存在滿足條件的直線l.
3.設(shè)橢圓E：+=1(a，b>0)過(guò)M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥?若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)因?yàn)闄E圓E：+=1(a，b>0)過(guò)M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，
所以解得
所以橢圓E的方程為+=1.
(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程組得x2+2(kx+m)2=8，
即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，
則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0，即8k2-m2+4>0.
故
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=-+m2
=.
要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，
即+=0，
所以3m2-8k2-8=0，
所以k2=≥0.
又8k2-m2+4>0，所以所以m2≥，
即m≥或m≤-，
因?yàn)橹本�y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=，
r2===，r=，
所求的圓為x2+y2=，
此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足m≥或m≤-，
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±與橢圓+=1的兩個(gè)交點(diǎn)為(，±)或(-，±)滿足⊥，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥.
4.(2014·重慶)如圖，設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面積為.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)?若存在，求出圓的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)設(shè)F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2=a2-b2.
由=2，得DF1==c，
從而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=，故c=1，
從而DF1=.
由DF1⊥F1F2，得DF=DF+F1F=，
因此DF2=.
所以2a=DF1+DF2=2，
故a=，b2=a2-c2=1.
因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個(gè)交點(diǎn)，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2.
由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知，x2=-x1，y1=y2.
由(1)知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，
所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1)，
再由F1P1⊥F2P2，得-(x1+1)2+y=0.
由橢圓方程得1-=(x1+1)2，即3x+4x1=0，
解得x1=-或x1=0.
當(dāng)x1=0時(shí)，P1，P2重合，題設(shè)要求的圓不存在.
當(dāng)x1=-時(shí)，過(guò)P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.
設(shè)C(0，y0)，
由CP1⊥F1P1，得·=-1.
而求得y1=，故y0=.
圓C的半徑CP1= =.
綜上，存在滿足題設(shè)條件的圓，
其方程為x2+(y-)2=.
5.(2014·江西)如圖，已知拋物線C：x2=4y，過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;
(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y=2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：MN-MN為定值，并求此定值.
(1)證明 依題意可設(shè)AB方程為y=kx+2，
代入x2=4y，
得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2=-8.
直線AO的方程為y=x;
BD的方程為x=x2.
解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為
注意到x1x2=-8及x=4y1，
則有y===-2.
因此動(dòng)點(diǎn)D在定直線y=-2上(x≠0).
(2)解 依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得x2=4(ax+b)，
即x2-4ax-4b=0.
由Δ=0得(4a)2+16b=0，化簡(jiǎn)整理得b=-a2.
故切線l的方程可寫為y=ax-a2.
分別令y=2，y=-2得N1，N2的坐標(biāo)為
N1(+a,2)，N2(-+a，-2)，
則MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8，
即MN-MN為定值8.
6.(2014·福建)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.
(1)求曲線Γ的方程.
(2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.
解 方法一 (1)設(shè)S(x，y)為曲線Γ上任意一點(diǎn)，
依題意，點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等，所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線Γ的方程為x2=4y.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.證明如下：
由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2，
設(shè)P(x0，y0)(x0≠0)，則y0=x，
由y′=x，得切線l的斜率
k=y′|x=x0=x0，
所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0)，
即y=x0x-x.
由得A(x0,0).
由得M(x0+，3).
又N(0,3)，所以圓心C(x0+，3)，
半徑r=MN=|x0+|，
AB=
= =.
所以點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.
方法二 (1)設(shè)S(x，y)為曲線Γ上任意一點(diǎn)，
則|y-(-3)|-=2，
依題意，點(diǎn)S(x，y)只能在直線y=-3的上方，所以y>-3，所以=y+1，
化簡(jiǎn)，得曲線Γ的方程為x2=4y.
