題型一 頻率分布直方圖的應(yīng)用
例1 某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分;
(3)若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù).
分?jǐn)?shù)段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 破題切入點(diǎn) (1)根據(jù)樣本頻率之和為1，求出參數(shù)a的值.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖和平均值的計(jì)算公式，求出樣本平均值.
(3)由直方圖可計(jì)算語(yǔ)文成績(jī)?cè)诿糠侄紊系念l數(shù)，再根據(jù)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谕欢紊系娜藬?shù)比，便可計(jì)算數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之間的人數(shù)，進(jìn)而求解.
解 (1)由頻率分布直方圖知(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1，解得a=0.005.
(2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73(分).
(3)由頻率分布直方圖知語(yǔ)文成績(jī)?cè)赱50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0.005×10×100=5,0.04×10×100=40,0.03×10×100=30,0.02×10×100=20.
由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谏鲜龈鞣謹(jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5,40×=20,30×=40,20×=25.
故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù)為
100-(5+20+40+25)=10.
題型二 莖葉圖的應(yīng)用
例2 從甲、乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示).設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則它們的大小關(guān)系分別為_(kāi)_______.
破題切入點(diǎn) 由莖葉圖觀察求解比較兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).
答案 甲<乙，m甲s，故甲更穩(wěn)定，故填甲.
總結(jié)提高 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同
①眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量.
�、谄骄鶖�(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng)，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì).
�、郾姅�(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題.
�、苤形粩�(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì).
(2)莖葉圖刻畫(huà)數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)
�、偎袛�(shù)據(jù)信息都可以在莖葉圖中看到.
②莖葉圖便于記錄和表示，且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.
(3)利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征
①中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.
�、谄骄鶖�(shù)：平均數(shù)的頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
�、郾姅�(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).
1.某校對(duì)高三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體檢，現(xiàn)將高三男生的體重(kg)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分成五組，并繪制頻率分布直方圖(如圖).根據(jù)一般標(biāo)準(zhǔn)，高三男生的體重超過(guò)65 kg屬于偏胖，低于55 kg屬于偏瘦.已知圖中從左到右第一、第三、第四、第五小組的頻率分別為0.25,0.20,0.10,0.05，第二小組的頻數(shù)為400，則該校高三年級(jí)的男生總數(shù)和體重正常的頻率分別為_(kāi)_______.
答案 1 000,0.60
解析 據(jù)題意，得第二小組的頻率為1-(0.25+0.20+0.10+0.05)=0.40，
且其頻數(shù)為400，設(shè)高三年級(jí)男生總數(shù)為n，
則有=0.40，∴n=1 000.
體重正常的學(xué)生所占的頻率為第二和第三小組頻率之和，
即0.20+0.40=0.60.
2. 已知記錄7名運(yùn)動(dòng)員選手身高(單位：cm)的莖葉圖如圖，其平均身高為177 cm，因有一名運(yùn)動(dòng)員的身高記錄看不清楚，設(shè)其末位數(shù)為x，那么推斷x的值為_(kāi)_______.
答案 8
解析 據(jù)莖葉圖可知
=177，
解得x=8.
3.在樣本的頻率分布直方圖中，一共有n個(gè)小矩形.若中間一個(gè)小矩形的面積等于其余(n-1)個(gè)小矩形面積之和的，且樣本容量為240，則中間一組的頻數(shù)是________.
答案 40
解析 設(shè)中間小矩形的面積為S，則由題意知=，
解得S=，即頻率為，
所以中間一組的頻數(shù)為×240=40.
4.樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為_(kāi)_______.
答案 2
解析 由題意知(a+0+1+2+3)=1，解得a=-1，
所以樣本方差為s2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
5.(2014·山東)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為_(kāi)_______.
答案 12
解析 志愿者的總?cè)藬?shù)為=50，
所以第三組人數(shù)為50×0.36=18，
有療效的人數(shù)為18-6=12.
6.在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個(gè)小長(zhǎng)方形，這4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}，已知a2=2a1，且樣本容量為300，則小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為_(kāi)_______.
答案 160
解析 ∵小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且a2=2a1，
∴樣本的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，且公比為2，
∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=300，∴a1=20，
∴小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為8a1=160.
7.(2014·江蘇)為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，有________株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm.
答案 24
解析 底部周長(zhǎng)在[80,90)的頻率為0.015×10=0.15，
底部周長(zhǎng)在[90,100)的頻率為0.025×10=0.25，
樣本容量為60，所以樹(shù)木的底部周長(zhǎng)小于100 cm的株數(shù)為(0.15+0.25)×60=24.
8.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)分別是________.
答案 18,23
解析 根據(jù)莖葉圖分別將甲、乙得分按從小到大順序排起來(lái)，根據(jù)中位數(shù)定義易知甲、乙中位數(shù)分別為18,23.
9.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)
品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是________.
答案 甲
解析 甲=(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10.0，
乙=(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10.0;
s=(9.82+…+10.22)-102=0.02，
s=(9.42+…+9.82)-102=0.244>0.02.
10.為了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重(單位：kg)情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為12，則報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)是________.
答案 48
解析 據(jù)頻率分布直方圖可得第四與第五小組的頻率之和為5×(0.013+0.037)=0.25，故前三個(gè)小組的頻率為1-0.25=0.75，第2小組的頻率為0.75×=0.25，又其頻數(shù)為12，故總?cè)藬?shù)為=48人.
11.(2014·北京)從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：
組號(hào) 分組 頻數(shù) 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合計(jì) 100
(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率;
(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值;
(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組.(只需寫(xiě)出結(jié)論)
解 (1)根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6+2+2=10(名)，
所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1-=0.9.
從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9.
(2)課外閱讀時(shí)間落在組[4,6) 的有17人，頻率為0.17，
所以a===0.085.
課外閱讀時(shí)間落在組[8,10)的有25人，頻率為0.25，
所以b===0.125.
(3)樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組.
12.(2014·廣東)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：
(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;
(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖;
(3)求這20名工人年齡的方差.
解 (1)這20名工人年齡的眾數(shù)為30;這20名工人年齡的極差為40-19=21.
(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下：
(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為：(19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40)÷20=30;
所以這20名工人年齡的方差為：
(30-19)2+(30-28)2+(30-29)2+(30-30)2+(30-31)2+(30-32)2+(30-40)2=12.6.
