一、選擇題

　　1.下列命題正確的個數(shù)為(　　).

　　經(jīng)過三點確定一個平面;

　　梯形可以確定一個平面;

　　兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面;

　　如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

　　A.0 B.1 C.2 D.3

　　解析　錯誤，正確.

　　答案　C

　　2.若兩條直線和一個平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是(　　).

　　A.平行 B.異面

　　C.相交 D.平行、異面或相交

　　解析　經(jīng)驗證，當(dāng)平行、異面或相交時，均有兩條直線和一個平面相交成等角的情況出現(xiàn)，故選D.

　　答案　D

　　3.若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分為(　　)

　　A.5部分 B.6部分

　　C.7部分 D.8部分

　　解析 垂直于交線的截面如圖，把空間分為7部分.

　　C

　　4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是BD1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論錯誤的是(　　).

　　A.A1、M、O三點共線 B.M、O、A1、A四點共面

　　C.A、O、C、M四點共面 D.B、B1、O、M四點共面

　　解析　因為O是BD1的中點.由正方體的性質(zhì)知，點O在直線A1C上，O也是A1C的中點，又直線A1C交平面AB1D1于點M，則A1、M、O三點共線，A正確;又直線與直線外一點確定一個平面，所以B、C正確.

　　答案　D.一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中(　　).

　　A.ABCD

　　B.AB與CD相交

　　C.ABCD

　　D.AB與CD所成的角為60°

　　解析　如圖，把展開圖中的各正方形按圖(a)所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖(b)所示的直觀圖，可見選項A、B、C不正確.正確選項為D.圖(b)中，DEAB，CDE為AB與CD所成的角，CDE為等邊三角形，CDE=60°.

　　答案　D

　　.如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(　　).A.ACSB

　　B.AB平面SCD

　　C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

　　D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

　　解析　選項A正確，因為SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD;再由ABCD為正方形，所以AC垂直于BD;而BD與SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，進(jìn)而垂直于SB.選項B正確，因為AB平行于CD，而CD在平面SCD內(nèi)，AB不在平面SCD內(nèi)，所以AB平行于平面SCD.選項C正確，設(shè)AC與BD的交點為O，連接SO，則SA與平面SBD所成的角就是ASO，SC與平面SBD所成的角就是CSO，易知這兩個角相等.選項D錯誤，AB與SC所成的角等于SCD，而DC與SA所成的角是SAB，這兩個角不相等.

　　答案　D

　　二、填空題

　　.已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a，b在α上的射影有可能是：

　　兩條平行直線;兩條互相垂直的直線;同一條直線;一條直線及其外一點.

　　在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是________(寫出所有正確結(jié)論的編號).

　　解析　只有當(dāng)ab時，a，b在α上的射影才可能是同一條直線，故錯，其余都有可能.

　　答案

　　8. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論：

　　直線AM與CC1是相交直線;

　　直線AM與BN是平行直線;

　　直線BN與MB1是異面直線;

　　直線AM與DD1是異面直線.

　　其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上).

　　解析　直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故錯誤.

　　答案　.如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，將△ABD沿對角線 BD折起到△A′BD的位置，使點A′在平面BCD內(nèi)的射影點O恰 好落在BC邊上，則異面直線A′B與CD所成角的大小為________.

　　解析 如題圖所示，

　　由A′O⊥平面ABCD，

　　可得平面A′BC⊥平面ABCD，

　　又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，

　　即得異面直線A′B與CD所成角的大小為90°.

　　答案 90°

　　.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條.

　　解析　法一　在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點.如圖所示.

　　法二　在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線.由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交.

　　答案　無數(shù)三、解答題

　　. 如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分別為FA、FD的中點.

　　(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形;

　　(2)C、D、F、E四點是否共面?為什么?

　　(1)證明　由已知FG=GA，F(xiàn)H=HD，可得GH綉AD.

　　又BC綉AD，GH綉B(tài)C，四邊形BCHG為平行四邊形.

　　(2)解　由BE綉AF，G為FA中點知，BE綉FG，

　　四邊形BEFG為平行四邊形，EF∥BG.

　　由(1)知BG綉CH，EF∥CH，EF與CH共面.

　　又DFH，C、D、F、E四點共面.

　　.在長方體ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一點P(如圖所示，其中P點不在對角線B1D1)上.

　　(1)過P點在空間作一直線l，使l直線BD，應(yīng)該如何作圖?并說明理由;

　　(2)過P點在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成α角，其中α，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖?

　　解　(1)連接B1D1，BD，在平面A1C1內(nèi)過P作直線l，使lB1D1，則l即為所求作的直線，如圖(a).

　　B1D1∥BD，lB1D1，l∥直線BD.

　　圖(a)

　　(2)BD∥B1D1，直線m與直線BD也成α角，即直線m為所求作的直線，如圖(b).由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角α.

　　當(dāng)α=時，這樣的直線m有且只有一條，當(dāng)α≠時，這樣的直線m有兩條.

　　圖(b).如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AD、AB的中點，G、H分別在BC、CD上，且BGGC=DHHC=12.

　　(1)求證：E、F、G、H四點共面;

　　(2)設(shè)FG與HE交于點P，求證：P、A、C三點共線.

　　證明　(1)ABD中，E、F為AD、AB中點，

　　EF∥BD.

　　△CBD中，BGGC=DHHC=12，

　　GH∥BD，EF∥GH(平行線公理)，

　　E、F、G、H四點共面.

　　(2)FG∩HE=P，PFG，PHE，

　　P∈直線AC.

　　P、A、C三點共線.

　　.在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB=60°，對角線AC與BD交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.

　　(1)求四棱錐的體積;

　　(2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.

　　解　(1)在四棱錐P-ABCD中，

　　PO⊥面ABCD，

　　PBO是PB與面ABCD所成的角，即PBO=60°，在RtPOB中，

　　BO=AB·sin 30°=1，

　　又POOB，PO=BO·tan 60°=，

　　底面菱形的面積S菱形ABCD=2.

　　四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=×2×=2.

　　(2)取AB的中點F，連接EF，DF，

　　E為PB中點，EF∥PA，

　　DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角).在RtAOB中，

　　AO=AB·cos 30°==OP，

　　在RtPOA中，PA=，EF=.

　　在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，

　　cos∠DEF====.

　　即異面直線DE與PA所成角的余弦值為.