1.二項式6的展開式中的常數項是(　　)

　　A.20　　　　　　　　　B.-20

　　C.160 D.-160

　　解析 二項式(2x-)6的展開式的通項是Tr+1=C·(2x)6-r·r=C·26-r·(-1)r·x6-2r.令6-2r=0，得r=3，因此二項式(2x-)6的展開式中的常數項是C·26-3·(-1)3=-160.

　　答案 D

　　2.若二項式n的展開式中第5項是常數項，則正整數n的值可能為(　　).

　　A.6 B.10 C.12 D.15

　　解析　Tr+1=C()n-rr=(-2)rCx，當r=4時，=0，又nN*，n=12.

　　答案　C

　　3.已知8展開式中常數項為1 120，其中實數a是常數，則展開式中各項系數的和是(　　).

　　A.28 B.38 C.1或38 D.1或28

　　解析　由題意知C·(-a)4=1 120，解得a=±2，令x=1，得展開式各項系數和為(1-a)8=1或38.

　　答案

　　4.設n的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，若M-N=240，則展開式中x的系數為(　　).

　　A.-150 B.150 C.300 D.-300

　　解析　由已知條件4n-2n=240，解得n=4，

　　Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rCx4-，

　　令4-=1，得r=2，T3=150x.

　　答案　B

　　.設aZ，且0≤a<13，若512 012+a能被13整除，則a=(　　).

　　A.0 B.1 C.11 D.12

　　解析　512 012+a=(13×4-1)2 012+a被13整除余1+a，結合選項可得a=12時，512 012+a能被13整除.

　　答案　D.已知00)與y=|logax|的大致圖象如圖所示，所以n=2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11，所以a1=-2+C=-2+11=9.

　　答案　B

　　二、填空題

　　. 18的展開式中含x15的項的系數為________(結果用數值表示).

　　解析　Tr+1=Cx18-rr=(-1)rCrx18-r，令18-r=15，解得r=2.所以所求系數為(-1)2·C2=17.

　　答案　17

　　.已知(1+x+x2)n的展開式中沒有常數項，nN*且2≤n≤8，則n=________.

　　解析　n展開式中的通項為

　　Tr+1=Cxn-rr

　　=Cxn-4r(r=0,1,2，…，8)，

　　將n=2,3,4,5,6,7,8逐個檢驗可知

　　n=5.

　　答案　n=5

　　.若(cosφ+x)5的展開式中x3的系數為2，則sin=________.

　　解析 由二項式定理得，x3的系數為Ccos2φ=2，cos2φ=，故sin=cos2φ=2cos2φ-1=-.

　　-　.設二項式6(a>0)的展開式中x3的系數為A，常數項為B.若B=4A，則a的值是________.

　　解析　由Tr+1=Cx6-rr=C(-a)rx6-r，

　　得B=C(-a)4，A=C(-a)2，B=4A，a>0，a=2.

　　答案　2三、解答題

　　.已知二項式n的展開式中各項的系數和為256.

　　(1)求n;(2)求展開式中的常數項.

　　解　(1)由題意，得C+C+C+…+C=256，即2n=256，解得n=8.

　　(2)該二項展開式中的第r+1項為Tr+1=C()8-r·r=C·x，令=0，得r=2，此時，常數項為T3=C=28.

　　.已知等差數列2,5,8，…與等比數列2,4,8，…，求兩數列公共項按原來順序排列構成新數列{Cn}的通項公式.

　　等差數列2,5,8，…的通項公式為an=3n-1，

　　等比數列2,4,8，…的通項公式為bk =2k ，令3n-1=2k ，nN*，k N*，

　　即n==

　　=，

　　當k =2m-1時，mN*，

　　n=N*，

　　Cn=b2n-1=22n-1(nN*).

　　.已知(a2+1)n展開式中的各項系數之和等于5的展開式的常數項，而(a2+1)n的展開式的系數最大的項等于54，求a的值.

　　解　5的展開式的通項為Tr+1=C5-r·r=5-rCx，令20-5r=0，得r=4，故常數項T5=C×=16.又(a2+1)n展開式的各項系數之和等于2n，由題意知2n=16，得n=4.由二項式系數的性質知，(a2+1)n展開式中系數最大的項是中間項T3，故有Ca4=54，解得a=±.

　　.已知n，(1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項的系數;

　　(2)若展開式前三項的二項式系數和等于79，求展開式中系數最大的項.

　　解　(1)C+C=2C，n2-21n+98=0.

　　n=7或n=14，

　　當n=7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和T5.

　　T4的系數為C423=，

　　T5的系數為C324=70，

　　當n=14時，展開式中二項式系數最大的項是T8.

　　T8的系數為C727=3 432.

　　(2)C+C+C=79，n2+n-156=0.

　　n=12或n=-13(舍去).設Tk+1項的系數最大，

　　12=12(1+4x)12，

　　9.4≤k≤10.4，k=10.

　　展開式中系數最大的項為T11，

　　T11=C·2·210·x10=16 896x1