.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x2，(aR)，且x=2是y=f(x)的極值點(diǎn)，求函數(shù)g(x)=ex·f(x)的單調(diào)區(qū)間.

　　解　f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

　　因?yàn)閤=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).

　　所以f′(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1，

　　經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，

　　所以g(x)=ex(x3-3x2)，

　　g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x)

　　=ex(x3-6x)=x(x+)(x-)ex.

　　因?yàn)閑x>0，所以y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-，0)和(，+∞);單調(diào)減區(qū)間是(-∞，-)和(0，).

　　.已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1

　　(1)若f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

　　(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減?若存在，求出a的取值范圍;若不存在試說(shuō)明理由.

　　(1)f′(x)=3x2-a

　　由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，

　　因此當(dāng)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增時(shí)，a的取值范圍是(-∞，0].

　　(2)若f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

　　則對(duì)于任意x(-1,1)不等式f′(x)=3x2-a≤0恒成立

　　即a≥3x2，又x(-1,1)，則3x2<3因此a≥3

　　函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞).

　　.已知函數(shù)f(x)=aln x-ax-3(aR).

　　(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

　　(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t[1,2]，函數(shù)g(x)=x3+x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍.

　　(1)根據(jù)題意知，f′(x)=(x>0)，

　　當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+∞);

　　當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1];當(dāng)a=0 時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù).

　　(2)f′(2)=-=1，a=-2，

　　f(x)=-2ln x+2x-3.

　　g(x)=x3+x2-2x，

　　g′(x)=3x2+(m+4)x-2.

　　g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′(0)=-2，

　　由題意知：對(duì)于任意的t[1,2]，g′(t)<0恒成立，

　　∴-

　　.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+在內(nèi)有極值.

　　(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

　　(2)若x1(0,1)，x2(1，+∞).求證：f(x2)-f(x1)>e+2-.注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

　　(1)解　易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，+∞)，

　　f′(x)=-==.

　　由函數(shù)f(x)在內(nèi)有極值，可知方程f′(x)=0在內(nèi)有解，令g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β).

　　不妨設(shè)0<α<，則β>e，又g(0)=1>0，

　　所以g=-+1<0，解得a>e+-2.

　　(2)證明　由(1)知f′(x)>00β，

　　f′(x)<0αe)，

　　則h′(β)=+1+=2>0，

　　所以函數(shù)h(β)在(e，+∞)上單調(diào)遞增，

　　所以f(x2)-f(x1)≥h(β)>h(e)=2+e-.