一、選擇題

1.(2016·天津薊縣期中)函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)可能落在的區(qū)間為(　　)

A.(0,1) B.(2,3)

C.(3,4) D.(4,5)

解析：函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx，

f(1)=1>0，f(2)=-ln2<0，f(3)=1-ln3<0，f(4)=2-ln4>0，f(5)=3-ln5>0，f(1)·f(2)<0，f(3)f(4)<0.函數(shù)的零點(diǎn)在(1,2)，(3,4)上，故選C.

答案：C

2.(2016·山東淄博六中期中)設(shè)f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根所在區(qū)間為(　　)

A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2) D.不能確定

解析：函數(shù)f(1.5)·f(1.25)<0，由零點(diǎn)存在定理，方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5).故選B.

答案：B

3.(2016·黑龍江哈師大附中期中)關(guān)于x的方程|x|-a-1=0有解，則a的取值范圍是(　　)

A.(0,1] B.(-1,0]

C.[1，+∞) D.(0，+∞)

解析：關(guān)于x的方程|x|-a-1=0有解，函數(shù)y=|x|的圖象與直線y=a+1有交點(diǎn)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：0<|x|≤1，

方程有解只需00.∴f(0)f(1)<0，

∴函數(shù)f(x)=2ex+3x-a的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0,1).故選C.

答案：C

6.(2016·山東淄博淄川一中期中)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為x1，函數(shù)g(x)=lnx+x2-3的零點(diǎn)為x2，則(　　)

A.g(x1)<0，f(x2)>0

B.g(x1)>0，f(x2)<0

C.g(x1)>0，f(x2)>0

D.g(x1)<0，f(x2)<0

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex+x-2在R上單調(diào)遞增，且f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，由零點(diǎn)存在性定理知x1(0,1).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=lnx+x2-3在(0，+∞)上單調(diào)遞增，g(1)=-2<0，g(2)=ln2+1>0，由零點(diǎn)存在性定理知x2(1,2).因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=lnx+x2-3在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且x1(0,1)，所以g(x1)f(1)>0.故選A.

答案：A

7.(2016·湖南株洲質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=-x-+2e有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則k的值為(　　)

A.e+ B.e2+

C.1 D.e

解析：函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，令-x-+2e=0，即方程-x2+2ex=k只有一個(gè)解，設(shè)g(x)=-x2+2ex，則g′(x)=+2(e-x)，當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0;當(dāng)00，故當(dāng)x=e時(shí)，g(x)取得最大值g(e)=+e2，又-x2+2ex=k只有一個(gè)解，故k=+e2，故選B.

答案：B

8.(2016·河北保定定州期中)已知函數(shù)f(x)=關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的解，則b，c滿足的條件是(　　)

A.b<0，c<0 B.b<0，c=0

C.b>0，c=0 D.b>0，c<0

解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，設(shè)f(x)=t，當(dāng)t=0時(shí)，方程有3個(gè)根;當(dāng)t>0時(shí)，方程有4個(gè)根，當(dāng)t<0時(shí)，方程無解.要使關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，關(guān)于f(x)的方程f2(x)+bf(x)+c=0等價(jià)為t2+bt+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)等于零的根.c=0，此時(shí)t2+bt=t(t+b)=0，則另外一個(gè)根為t=-b，即f(x)=-b>0，即b<0，c=0.故選B.

答案：B

二、填空題

9.(2016·上海六校聯(lián)考一)已知f(x)=kx-|x-1|有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.

解析：令f(x)=0，得kx=|x-1|，設(shè)y1=kx，y2=|x-1|，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，折線為y2的圖象，直線(實(shí)線)為y1的圖象，且y1的圖象恒過原點(diǎn)，要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則y1和y2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k=1時(shí)，y1=x(虛線)與y2圖象的右側(cè)(x>1)平行，此時(shí)，兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此，要使y1和y2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則0-1時(shí)無解，設(shè)h(x)=，即有h′(x)=，當(dāng)-11時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增.則x>0時(shí)，在x=1處，h(x)取得最小值h(1)=e，-10，則G(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，即G(x)≥G(0)=0，即F′(x)≥0，即F(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，則F(x)≥F(0)=0，即ex(3x-4)+x+4≥0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≥1.

12.(2016·福建福州三中期中)已知函數(shù)f(x)=ex-1-ax，aR.

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)試探究函數(shù)F(x)=f(x)-xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)?若存在，請指出有幾個(gè)零點(diǎn);若不存在，請說明理由.

(3)若g(x)=ln(ex-1)-lnx，且f(g(x))0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí)，f ′(x)>0x>lna，f ′(x)<0x0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，lna).

(2)函數(shù)F(x)=f(x)-xlnx的定義域?yàn)?0，+∞)，由F(x)=0，得a=-lnx，x>0.令h(x)=-lnx，x>0，則h′(x)=，x>0，h′(x)>0⇒x>1，h′(x)<000，有f(x)>f(lna)=0，即ex-1>x>1.∴當(dāng)x>0且x趨向0時(shí)，h(x)趨向+∞.隨著x>0的增長，y=ex-1的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=x2的增長速度，而y=lnx的增長速度則會(huì)越來越慢.故當(dāng)x>0且x趨向+∞時(shí)，h(x)趨向+∞.得到函數(shù)h(x)的草圖如圖所示.故當(dāng)a>e-1時(shí)，函數(shù)F(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn);當(dāng)a=e-1時(shí)，函數(shù)F(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí)，ex-1>x，故對x>0，g(x)>0，用分析法證明x>0，g(x)0，g(x)0，0，xex-ex+1>0.構(gòu)造函數(shù)H(x)=xex-ex+1(x>0)，H′(x)=xex>0，故函數(shù)H(x)=xex-ex+1在(0，+∞)上單調(diào)遞增，

H(x)>H(0)=0，則x>0，xex-ex+1>0成立.當(dāng)a≤1時(shí)，由(1)知，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則f(g(x))1時(shí)，由(1)知，函數(shù)f(x)在(lna，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，lna)上單調(diào)遞減，故當(dāng)0f(x)，則不滿足題意.綜合得，滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，1].