2017年甘肅高考數(shù)學基礎(chǔ)提升訓練（三）

【例1】　把函數(shù)y＝sin2x的圖象按向量a(→)＝(－p，－3)平移后，得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，|j|＝p)的圖象，則j和B的值依次為 （    ）

A．p，－3 B．p，3 C．p，－3 D．－p，3

【分析】　根據(jù)向量的坐標確定平行公式為 ( )¢p¢y＝y(tǒng)＋3(6)，再代入已知解析式可得.還可以由向量的坐標得圖象的兩個平移過程，由此確定平移后的函數(shù)解析式，經(jīng)對照即可作出選擇.

【解析1】　由平移向量知向量平移公式 ( )¢p¢y＝y(tǒng)－3(6)，即 ( )¢p¢y＝y(tǒng)＋3(6)，代入y＝sin2x得y¢＋3＝sin2(x¢＋p)，即到y＝sin(2x＋3(π))－3，由此知j＝p，B＝－3，故選C.

【解析2】　由向量a(→)＝(－p，－3)，知圖象平移的兩個過程，即將原函數(shù)的圖象整體向左平移p個單位，再向下平移3個單位，由此可得函數(shù)的圖象為y＝sin2(x＋p)－3，即y＝sin(2x＋3(π))－

3，由此知j＝p，B＝－3，故選C.

【例2】　已知A、B、C為三個銳角，且A＋B＋C＝π.若向量p(→)＝(2－2sinA，cosA＋sinA)與向量q(→)＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共線向量.

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）求函數(shù)y＝2sin²B＋cos2(C－3B)的最大值.

【分析】　首先利用向量共線的充要條件建立三角函數(shù)等式，由于可求得A角的正弦值，再根據(jù)角的范圍即可解決第(Ⅰ)小題；而第(Ⅱ)小題根據(jù)第(Ⅰ)小題的結(jié)果及A、B、C三個角

的關(guān)系，結(jié)合三角民恒等變換公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角B的表達式，再根據(jù)B的范圍求最值.

【解】�。�Ⅰ）∵p(→)、q(→)共線，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，則sin²A＝4(3)，

又A為銳角，所以sinA＝2(3)，則A＝p.

（Ⅱ）y＝2sin²B＋cos2(C－3B)＝2sin²B＋cosp2(3－B－3B)

＝2sin²B＋cos(p－2B)＝1－cos2B＋2(1)cos2B＋2(3)sin2B

＝2(3)sin2B－2(1)cos2B＋1＝sin(2B－p)＋1.

∵B∈(0，p)，∴2B－p∈(－p，p6(5))，∴2B－p＝p，解得B＝p，y_max＝2.

【例3】　已知向量a(→)＝(3sinα,cosα)，b(→)＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(p2(3)，2π)，且a(→)⊥b(→)．

（Ⅰ）求tanα的值；

（Ⅱ）求cos(2(α)＋p)的值．

【解】　（Ⅰ）∵a(→)⊥b(→)，∴a(→)·b(→)＝0．而a(→)＝（3sinα，cosα），b(→)＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

故a(→)·b(→)＝6sin²α＋5sinαcosα－4cos²α＝0． 

由于cosα≠0，∴6tan²α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－3(4)，或tanα＝2(1)．

∵α∈（p2(3)，2π），tanα＜0，故tanα＝2(1)（舍去）．∴tanα＝－3(4)．

（Ⅱ）∵α∈（p2(3)，2π），∴2(α)∈（p4(3)，π）．

由tanα＝－3(4)，求得tan2(α)＝－2(1)，tan2(α)＝2（舍去）．∴sin2(α)＝5(5)，cos2(α)＝－5(5)，

∴cos(2(α)＋p)＝cos2(α)cosp－sin2(α)sinp＝－5(5)×2(1)－5(5)×2(3)＝－10(15)

【例3】　已知向量a(→)＝(cosα,sinα)，b(→)＝(cosβ,sinβ)，|a(→)－b(→)|＝5(2).(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－p＜β＜0＜α＜p，且sinβ＝－13(5)，求sinα的值.

【分析】　利用向量的模的計算與數(shù)量積的坐標運算可解決第(Ⅰ)小題；而第(Ⅱ)小題則可變角α＝(α－β)＋β，然后就須求sin(α－β)與cosβ即可.

【解】　(Ⅰ)∵|a(→)－b(→)|＝5(2)，∴a(→)²－2a(→)·b(→)＋b(→)²＝5(4)，

將向量a(→)＝(cosα,sinα)，b(→)＝(cosβ,sinβ)代入上式得

1²－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋1²＝5(4)，∴cos(α－β)＝－5(3).

(Ⅱ)∵－p＜β＜0＜α＜p，∴0＜α－β＜π，

由cos(α－β)＝－5(3)，得sin(α－β)＝5(4)，

又sinβ＝－13(5)，∴cosβ＝13(12)，

∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝65(33).

【例5】　設(shè)函數(shù)f(x)＝a(→)·b(→).其中向量a(→)＝(m，cosx)，b(→)＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(p)＝2.（Ⅰ）求實數(shù)m的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值.

解：（Ⅰ）f(x)＝a(→)·b(→)＝m(1＋sinx)＋cosx，

由f(p)＝2，得m(1＋sinp)＋cosp＝2，解得m＝1.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋p)＋1，

當sin(x＋p)＝－1時，f(x)的最小值為1－.

【例6】　已知角A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，其對邊分別為a、b、c，若m(→)＝(－cos2(A)，sin2(A))，n(→)＝(cos2(A)，sin2(A))，a＝2，且m(→)·n(→)＝2(1)．

（Ⅰ）若△ABC的面積S＝，求b＋c的值．

（Ⅱ）求b＋c的取值范圍．

【解】�。�Ⅰ）∵m(→)＝(－cos2(A)，sin2(A))，n(→)＝(cos2(A)，sin2(A))，且m(→)·n(→)＝2(1)，

∴－cos²2(A)＋sin²2(A)＝2(1)，即－cosA＝2(1)，

又A∈(0，π)，∴A＝p3(2).

又由S△ABC＝2(1)bcsinA＝，所以bc＝4，

由余弦定理得：a²＝b²＋c²－2bc·cosp3(2)＝b²＋c²＋bc，∴16＝(b＋c)²，故b＋c＝4.

（Ⅱ）由正弦定理得：sinB(b)＝sinC(c)＝sinA(a)＝p3(2)3(2)＝4，又B＋C＝p－A＝p，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(p－B)＝4sin(B＋p)，

∵0＜B＜p，則p＜B＋p＜p3(2)，則2(3)＜sin(B＋p)≤1，即b＋c的取值范圍是(2，4].