基礎(chǔ)鞏固組
1.(2014福建漳州模擬)在等比數(shù)列{an}中,已知a2+a3=1,a4+a5=2,則a8+a9等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
2.(2014天津,文5)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1=( )
A.2 B.-2 C. D.-
3.已知一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飛出去找回了4個(gè)伙伴;第2天,5只蜜蜂飛出去,各自找回了4個(gè)伙伴,……按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去,第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( )
A.420只 B.520只 C.只 D.只
4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1等于( )
A. B.- C. D.-
5.(2014課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,文5)等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.
6.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,公比q=2,若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=127,則n的值為 .
7.(2014廣東,文13)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .
8.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q= .
9.(2014福建,文17)在等比數(shù)列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)設(shè)bn=log3an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
10.(2014重慶,文16)已知{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,Sn表示{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求an及Sn;
(2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,公比q滿(mǎn)足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.
能力提升組
11.(2014福建泉州模擬)記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=,S2=2,則S4=( )
A.2 B.6 C.16 D.20
12.(2014天津一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an-1,則滿(mǎn)足≤2的正整數(shù)n的集合為( )
A.{1,2} B.{1,2,3,4} C.{1,2,3} D.{1,2,4}
13.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,則項(xiàng)數(shù)n為( )
A.12 B.14 C.15 D.16
14.(2014安徽,文12)如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=2,過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線,垂足為A1;過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線,垂足為A2;過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線,垂足為A3;…,依此類(lèi)推,設(shè)BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,則a7= .
15.已知等比數(shù)列{an}中,a2=32,a8=,an+160n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.
1.C 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q2==2,
故a8+a9=(a4+a5)q4=2×22=8.
2.D 解析:由題意知=S1·S4,則(a1+a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.故選D.
3.B 解析:由題意,可設(shè)蜂巢里的蜜蜂數(shù)為數(shù)列{an},則a1=1+4=5,a2=5×4+5=25,…,an=5an-1,故數(shù)列{an}為等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后,蜂巢中一共有a20=5×519=520只蜜蜂.
4.C 解析:由題知公比q≠1,則S3==a1q+10a1,得q2=9.
又a5=a1q4=9,則a1=.
5.A 解析:a2,a4,a8成等比數(shù)列,
=a2·a8,
即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),
解得a1=2.
Sn=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故選A.
6.7 解析:由題意知Sn==2n-1=127,解得n=7.
7.5 解析:由等比數(shù)列性質(zhì)知a1a5=a2a4==4.
an>0,∴a3=2,∴a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25,
∴l(xiāng)og2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5
=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.
8.1 解析:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a1=a3-2d,a5=a3+2d,
由題意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)·(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,d=-1,則a1+1=a3+3,故q=1.
9.解:(1)設(shè){an}的公比為q,依題意,得
解得
因此,an=3n-1.
(2)因?yàn)閎n=log3an=n-1,
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=.
10.解:(1)因?yàn)閧an}是首項(xiàng)a1=1,公差d=2的等差數(shù)列,
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn=1+3+…+(2n-1)==n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=16.
因?yàn)閝2-(a4+1)q+S4=0,
即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,從而q=4.
又因b1=2,{bn}是公比q=4的等比數(shù)列,
所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.
從而{bn}的前n項(xiàng)和Tn=(4n-1).
11.D 解析:根據(jù)題意,由于等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=,
S2==2⇒1+q=4⇒q=3,
S4=·(1+q2)=2×10=20.
12.B 解析:因?yàn)镾n=2an-1,
所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-1.
兩式相減得an=2an-2an-1,
整理得an=2an-1,
所以{an}是公比為2的等比數(shù)列.
又因?yàn)閍1=2a1-1,解得a1=1,
故{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
而≤2,即2n-1≤2n,
所以有n=1,2,3,4.
13.D 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
則=q4=2.
由a1+a2+a3+a4=1,
得a1·=1,a1=q-1.
又Sn=15,即=15,
qn=16.
又q4=2,∴n=16.故選D.
14. 解析:由題意知數(shù)列{an}是以首項(xiàng)a1=2,公比q=的等比數(shù)列,
a7=a1·q6=2×.
15.解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
則q6=.
又an+160n+800成立.
當(dāng)an=4n-2時(shí),
Sn==2n2,
令2n2>60n+800,
即n2-30n-400>0,
解得n>40或n<-10(舍去),
此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41.
綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿(mǎn)足題意的n;
當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿(mǎn)足題意的n,其最小值為41.
