三、解答題

　　10.已知a=(2cos x+2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.

　　(1)將y表示成x的函數(shù)f(x)，并求f(x)的最小正周期;

　　(2)記f(x)的最大值為M，a，b，c分別為ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應的邊長，若f=M，且a=2，求bc的最大值.

　　解析：(1)由a∥b得，2cos2x+2sin xcos x-y=0，

　　即y=2cos2x+2sin xcos x

　　=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1，

　　所以f(x)=2sin+1.

　　又T===π，

　　所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.

　　(2)由(1)易得M=3，

　　于是由f=M=3，即2sin+1=3sin=1，因為A為三角形的內(nèi)角，所以A=.

　　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是當且僅當b=c=2時，bc取得最大值，且最大值為4.

　　11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x，x[0，π].

　　(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;

　　(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.

　　命題立意：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì).(1)根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式將函數(shù)f(x)化簡，然后在所給角的取值范圍內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用正弦定理進行求解.

　　解析：(1)因為f(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2x·cos +cos 2x·sin +cos 2x·cos +sin 2x·sin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.

　　所以f(x)的最小正周期T==π.

　　因為x[0，π]，所以2x+，

　　當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);

　　當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);

　　當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù).

　　所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

　　(2)因為在ABC中，f=，

　　所以sin=，所以sin=1，

　　因為0

　　又因為a=2，b=，所以由正弦定理=，得=，

　　所以sin B=，即B=或B=，

　　所以C=或C=.

　　鏈接高考：高考對于三角函數(shù)的考查一般是綜合考查同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導公式、倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式，運用這些公式先對函數(shù)解析式進行化簡，再進一步研究其性質(zhì).

　　12.已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.

　　(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)，求函數(shù)f(x)的解析式;

　　(2)如圖，點M，N是函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個相鄰交點，函數(shù)圖象上一點P滿足·=，求函數(shù)f(x)的最大值.

　　命題立意：本題考查三角函數(shù)的恒等變換、平面向量的相關(guān)內(nèi)容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式等知識.對于第(1)問，根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)建立方程組，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，從而可得函數(shù)解析式;對于第(2)問，一種方法是先求出點M，N的坐標，再利用·=，即可求出函數(shù)f(x)的最大值;另一種方法是過點P作PC垂直x軸于點C，利用·=，求得||=，從而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函數(shù)f(x)圖象上，即可求得函數(shù)f(x)的最大值.

　　解析：(1) 函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)，

　　∴ sin=sin，

　　展開得cos θ+sin θ=.

　　cos θ=sin θ，tan θ=，

　　θ∈， θ=，

　　函數(shù)f(x)=Asin，

　　f=，

　　A=2.

　　f(x)=2sin.

　　(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 點M，N分別位于y軸兩側(cè)，則可得M，N，

　　=，=，

　　·==， +t=，

　　θ+2t=.

　　P在函數(shù)圖象上，

　　Asin(θ+2t)=Asin=，

　　A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.

　　解法二：過點P作PC垂直x軸于點C.

　　令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，

　　M，N分別位于y軸兩側(cè)，可得M，N， ||=，

　　·=||·||cos PNM

　　=·||cos PNM=·||=，

　　||=， ||=||-||=，

　　即+t=.

　　θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，

　　A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.

　　導師語要：本題較好的把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合起來進行考查，既考查了三角函數(shù)有關(guān)的運算，又考查了向量的數(shù)量積運算.近幾年的高考中常常把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合考查，也常常把三角函數(shù)與正余弦定理結(jié)合起來考查.

　　13.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).

　　(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值;

　　(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.

　　解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得

　　f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)

　　=sin 2x+cos 2x=2sin，

　　所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.

　　因為f(x)=2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1.

　　(2)由(1)可知f(x0)=2sin，

　　因為f(x0)=，所以sin=.

　　由x0，得2x0+，

　　從而cos=-=-，

　　所以cos 2x0=cos

　　=coscos +sinsin