三、解答題

　　11.袋內(nèi)裝有6個(gè)球，這些球依次被編號為1,2,3，…，6，設(shè)編號為n的球重n2-6n+12(單位：克)，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號的影響).

　　(1)從袋中任意取出1個(gè)球，求其重量大于其編號的概率;

　　(2)如果不放回地任意取出2個(gè)球，求它們重量相等的概率.

　　命題立意：本題主要考查古典概型的基礎(chǔ)知識，考查考生的計(jì)算能力.

　　解析：(1)若編號為n的球的重量大于其編號，則n2-6n+12>n，即n2-7n+12>0.

　　解得n<3或n>4.所以n=1,2,5,6.

　　所以從袋中任意取出1個(gè)球，其重量大于其編號的概率P==.

　　(2)不放回地任意取出2個(gè)球，這2個(gè)球編號的所有可能情形為：

　　1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;

　　2,3;2,4;2,5;2,6;

　　3,4;3,5;3,6;

　　4,5;4,6;

　　5,6.

　　共有15種可能的情形.

　　設(shè)編號分別為m與n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)的球的重量相等，則有m2-6m+12=n2-6n+12，

　　即有(m-n)(m+n-6)=0.

　　所以m=n(舍去)或m+n=6.

　　滿足m+n=6的情形為1,5;2,4，共2種情形.

　　故所求事件的概率為.

　　12.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.

　　(1)從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號記為a，然后從袋中余下的三個(gè)球中再隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號記為b，求關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率;

　　(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號記為m，將球放回袋中，然后從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號記為n.若以(m，n)作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，求點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)的概率.

　　命題立意：(1)不放回抽球，列舉基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，注意不要出現(xiàn)重復(fù)的號碼;(2)有放回抽球，列舉基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，可以出現(xiàn)重復(fù)的號碼，然后找出其中隨機(jī)事件含有的基本事件個(gè)數(shù)，按照古典概型的公式進(jìn)行計(jì)算.

　　解析：(1)設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”.

　　當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b.以下第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值.基本事件共12個(gè)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).

　　事件A中包含6個(gè)基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3).

　　事件A發(fā)生的概率為P(A)==.

　　(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，放回后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，點(diǎn)P(m，n)的所有可能情況為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè).

　　落在區(qū)域內(nèi)的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4個(gè)，所以點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)的概率為.

　　13.某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖.

　　(1)求圖中實(shí)數(shù)a的值;

　　(2)若該校高一年級共有學(xué)生640人，試估計(jì)該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù);

　　(3)若從數(shù)學(xué)成績在[40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.

　　命題立意：本題以頻率分布直方圖為載體，考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

　　解析：(1)由已知，得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，

　　解得a=0.03.

　　(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，成績不低于60分的頻率為1-10×(0.005+0.01)=0.85.

　　由于該校高一年級共有學(xué)生640人，利用樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544.

　　(3)易知成績在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2，這2人分別記為A，B;成績在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn).

　　若從數(shù)學(xué)成績在[40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15個(gè).

　　如果2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個(gè)成績在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定大于10.

　　記“這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共7個(gè).

　　所以所求概率為P(M)=.

　　14.新能源汽車是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽車，包括燃料電池汽車、混合動力汽車、氫能源動力汽車和太陽能汽車等，其廢氣排放量比較低，為了配合我國“節(jié)能減排”戰(zhàn)略，某汽車廠決定轉(zhuǎn)型生產(chǎn)新能源汽車中的燃料電池轎車、混合動力轎車和氫能源動力轎車，每類轎車均有標(biāo)準(zhǔn)型和豪華型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：

　　燃料電池轎車 混合動力轎車 氫能源動力轎車 標(biāo)準(zhǔn)型 100 150 y 豪華型 300 450 600 按能源類型用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中燃料電池轎車有10輛.

　　(1)求y的值;

　　(2)用分層抽樣的方法在氫能源動力轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛轎車，求至少有1輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車的概率;

　　(3)用隨機(jī)抽樣的方法從混合動力標(biāo)準(zhǔn)型轎車中抽取10輛進(jìn)行質(zhì)量檢測，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把這10輛轎車的得分看作一個(gè)樣本，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.4的概率.

　　命題立意：本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及分析問題、解決問題的能力.對于第(1)問，設(shè)該廠這個(gè)月生產(chǎn)轎車n輛，根據(jù)分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有燃料電池轎車10輛，列出關(guān)系式，得到n的值，進(jìn)而得到y(tǒng)值;對于第(2)問，由題意知本題是一個(gè)古典概型，用列舉法求出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果;對于第(3)問，首先求出樣本的平均數(shù)，求出事件發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果.

　　解析：(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意，得

　　=，n=2 000，y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.

　　(2)設(shè)所抽樣本中有a輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，由題意得a=2.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，3輛豪華型轎車，用A1，A2表示2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用B1，B2，B3表示3輛豪華型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛轎車，其中至少有1輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車”，則總的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個(gè)，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個(gè)，故所求概率為P(E)=.

　　(3)樣本平均數(shù)=×(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.

　　設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個(gè)數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.4”，則總的基本事件有10個(gè)，事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0，共6個(gè).

　　所求概率為P(D)==.