1.已知函數(shù)y=xf′(x)的圖象如下圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，下列四個圖象中y=f(x)的圖象大致是(　　)

答案　C

解析　由函數(shù)y=xf′(x)的圖象可知：

當x<-1時，xf′(x)<0，f′(x)>0，此時f(x)單調遞增;

當-10，f′(x)<0，此時f(x)單調遞減;

當01時，xf′(x)>0，f′(x)>0，此時f(x)單調遞增.

故符合f(x)的圖象為C.

2.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，則不等式exf(x)>ex+3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為(　　)

A.(0，+∞) B.(-∞，0)∪(3，+∞)

C.(-∞，0)∪(0，+∞) D.(3，+∞)

答案　A

解析　令g(x)=exf(x)-ex，

∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex

=ex[f(x)+f′(x)-1]，

∵f(x)+f′(x)>1，∴g′(x)>0，

∴y=g(x)在定義域上單調遞增，

∵exf(x)>ex+3，∴g(x)>3，

∵g(0)=3，∴g(x)>g(0)，∴x>0，故選A.

3.不等式ex-x>ax的解集為P，且(0,2]P，則a的取值范圍是(　　)

A.(-∞，e-1) B.(e-1，+∞)

C.(-∞，e+1) D.(e+1，+∞)

答案　A

解析　不等式ex-x>ax在(0,2]上恒成立，即a<(-1)min，x∈(0,2]，令y=-1，x∈(0,2]，則y′==0x=1，列表分析可得x=1時，y=-1取最小值e-1，從而a的取值范圍是(-∞，e-1)，

故選A.

4.若函數(shù)f(x)=-lnx- (a>0，b>0)的圖象在x=1處的切線與圓x2+y2=1相切，則a+b的最大值是(　　)

A.4B.2

C.2D.

答案　D

解析　f(x)=-lnx- (a>0，b>0)，

所以f′(x)=-，則f′(1)=-為切線的斜率，

切點為(1，-)，

所以切線方程為y+=-(x-1)，

整理得ax+by+1=0.

因為切線與圓相切，所以=1，即a2+b2=1.

由基本不等式得a2+b2=1≥2ab，

所以(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤2，

所以a+b≤，即a+b的最大值為.

5.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，對于任意的實數(shù)x都有f(x)≥0，則的取值范圍是(　　)

A.[，+∞) B.[2，+∞)

C.[，+∞) D.[3，+∞)

答案　B

解析　由題意得，f′(x)=2ax+b，

∵f′(0)>0，∴b>0，

又∵x∈R，都有f(x)≥0，∴a>0，

∴Δ=b2-4ac≤0ac≥⇒≥⇒·≥，

∴c>0.∴==1++

≥1+2≥1+2=2，

當且僅當==a=c=b>0時，等號成立，

∴的取值范圍是[2，+∞)，故選B.

6.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，其導函數(shù)f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內極小值點的個數(shù)為(　　)

A.1B.2

C.3D.4

答案　A

解析　f′(x)>0時，f(x)單調遞增，f′(x)<0時，f(x)單調遞減.f(x)的圖象如圖所示，顯然f(x)在(a，b)內的極小值點只有一個.

7.已知定義域為R的奇函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x)，當x≠0時，xf′(x)-f(x)<0，若a=，b=，c=，則a，b，c的大小關系正確的是(　　)

A.ae>ln2知<<，即c0.

∴不等式f(x)1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)

A.[15，+∞) B.[6，+∞)

C.(-∞，15] D.(-∞，6]

答案　A

解析　>1

>0，

∴g(x)=f(x+1)-(x+1)在(0,1)內是增函數(shù)，

∴g′(x)>0在(0,1)內恒成立，

即-(2x+3)>0恒成立，

∴a>[(2x+3)(x+2)]max，

∵x∈(0,1)時，(2x+3)(x+2)<15，

∴實數(shù)a的取值范圍為[15，+∞)，

故選A.

13.(+3)dx=______________.

答案　++6

解析　令y=，則(x-2)2+y2=4，

所以dx表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓在第一象限內1≤x≤3部分的面積，其面積為×4π+2××1×=π+.

所以(+3)dx

=()dx+3dx

=++(3x)|=++6.

14.(2016·課標全國丙)已知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)=ln(-x)+3x，則曲線y=f(x)在點(1，-3)處的切線方程是________.

答案　2x+y+1=0

解析　設x>0，則-x<0，f(-x)=lnx-3x，

又f(x)為偶函數(shù)，f(x)=lnx-3x，f′(x)=-3，

f′(1)=-2，切線方程為y=-2x-1，

即2x+y+1=0.

15.如圖，陰影部分的面積是________.

答案

解析　聯(lián)立直線y=2x與拋物線y=3-x2，解得交點為(-3，-6)和(1,2).設陰影部分面積為S，如圖，

則S=(3-x2-2x)dx

=--x2+3x|

=(--1+3)-(9-9-9)

=.

16.設函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnx+m.有下列五個命題：

①若對任意x∈[1,2]，關于x的不等式f(x)>g(x)恒成立，則mg(x0)成立，則mg(x2)恒成立，則mg(x2)成立，則mg(x2)成立，則mg(x)恒成立，即f(x)-g(x)>0恒成立，令F(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx-m，F(xiàn)′(x)=ex->0 (x∈[1,2])，只需F(1)=e-m>0，即mg(x0)成立，由①可知只需F(2)=e2-ln2-m>0，即mg(x2)恒成立，即f(x)min>g(x)max，即f(1)>g(2)，所以mg(x2)成立，則f(x)min>g(x)min，即f(1)>g(1)，所以mg(x2)成立，則f(x)max>g(x)min，即f(2)>g(1)，所以m