12.已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.

(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)，求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)如圖，點M，N是函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個相鄰交點，函數(shù)圖象上一點P滿足·=，求函數(shù)f(x)的最大值.

命題立意：本題考查三角函數(shù)的恒等變換、平面向量的相關(guān)內(nèi)容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式等知識.對于第(1)問，根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)建立方程組，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，從而可得函數(shù)解析式;對于第(2)問，一種方法是先求出點M，N的坐標(biāo)，再利用·=，即可求出函數(shù)f(x)的最大值;另一種方法是過點P作PC垂直x軸于點C，利用·=，求得||=，從而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函數(shù)f(x)圖象上，即可求得函數(shù)f(x)的最大值.

解析：(1) 函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)，

∴ sin=sin，

展開得cos θ+sin θ=.

cos θ=sin θ，tan θ=，

θ∈， θ=，

函數(shù)f(x)=Asin，

f=，

A=2.

f(x)=2sin.

(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 點M，N分別位于y軸兩側(cè)，則可得M，N，

=，=，

·==， +t=，

θ+2t=.

P在函數(shù)圖象上，

Asin(θ+2t)=Asin=，

A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.

解法二：過點P作PC垂直x軸于點C.

令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，

M，N分別位于y軸兩側(cè)，可得M，N， ||=，

·=||·||cos PNM

=·||cos PNM=·||=，

||=， ||=||-||=，

即+t=.

θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，

A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.

導(dǎo)師語要：本題較好的把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合起來進(jìn)行考查，既考查了三角函數(shù)有關(guān)的運(yùn)算，又考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算.近幾年的高考中常常把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合考查，也常常把三角函數(shù)與正余弦定理結(jié)合起來考查.

13.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值;

(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.

解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得

f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)

=sin 2x+cos 2x=2sin，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.

因為f(x)=2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1.

(2)由(1)可知f(x0)=2sin，

因為f(x0)=，所以sin=.

由x0，得2x0+，

從而cos=-=-，

所以cos 2x0=cos

=coscos +sinsin

=.