一、解答題

　　1.(2014·鄭州市質(zhì)檢)為了迎接2014年3月30日在鄭州舉行的“中國(guó)鄭開(kāi)國(guó)際馬拉松賽”，舉辦單位在活動(dòng)推介晚會(huì)上進(jìn)行嘉賓現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng). 抽獎(jiǎng)盒中裝有6個(gè)大小相同的小球，分別印有“鄭開(kāi)馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標(biāo)志. 搖勻后，參加者每次從盒中同時(shí)抽取兩個(gè)小球(取出后不再放回)，若抽到兩個(gè)球都印有“鄭開(kāi)馬拉松”標(biāo)志即可獲獎(jiǎng)，并停止取球;否則繼續(xù)抽取.第一次取球就抽中獲一等獎(jiǎng)，第二次取球抽中獲二等獎(jiǎng)，第三次取球抽中獲三等獎(jiǎng)，沒(méi)有抽中不獲獎(jiǎng).活動(dòng)開(kāi)始后，一位參賽者問(wèn)：“盒中有幾個(gè)印有‘鄭開(kāi)馬拉松’的小球?”主持人說(shuō)“我只知道第一次從盒中同時(shí)抽兩球，不都是'美麗綠城行'標(biāo)志的概率是.”

　　(1)求盒中印有“鄭開(kāi)馬拉松”小球的個(gè)數(shù);

　　(2)若用η表示這位參加者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望.

　　[解析]　(1)設(shè)印有“美麗綠城行”的球有n個(gè)，同時(shí)抽兩球不都是“美麗綠城行”標(biāo)志為事件A,

　　則同時(shí)抽取兩球都是“美麗綠城行”標(biāo)志的概率是P()=，

　　由對(duì)立事件的概率知P(A)=1-P()=.

　　即P()==，解得n=3.

　　(2)由已知，兩種球各三個(gè)，η可能取值分別為1、2、3，則η=2的含義是第一次取到兩球都印有“美麗綠城行”，第二次取球中獎(jiǎng);或第一次取到兩類球各一個(gè)，第二次取球中獎(jiǎng)，

　　P(η=1)==，

　　P(η=2)=·+·=，

　　P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)=，則η的分布列為：

　　η 1 2 3 Ρ 所以Eη=1×+2×+3×=.

　　2.(2014·天津理，16)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).

　　(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率;

　　(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

　　[解析]　(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A，則

　　P(A)==.

　　所以，選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率為.

　　(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0、1、2、3.

　　P(X=k)=(k=0、1、2、3)

　　所以，隨機(jī)變量X的分布列是

　　X 0 1 2 3 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.

　　3.(2014·石家莊質(zhì)檢)某商場(chǎng)為了了解顧客的購(gòu)物信息，隨機(jī)的在商場(chǎng)收集了100位顧客購(gòu)物的相關(guān)數(shù)據(jù)，整理如下：

　　一次購(gòu)物款(單位：元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200，+∞) 顧客人數(shù) m 20 30 n 10 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：100位顧客中購(gòu)物款不低于100元的顧客占60%.據(jù)統(tǒng)計(jì)該商場(chǎng)每日大約有5000名顧客，為了增加商場(chǎng)銷售額度，對(duì)一次性購(gòu)物不低于100元的顧客發(fā)放紀(jì)念品(每人一件).(注：視頻率為概率)

　　(1)試確定m、n的值，并估計(jì)該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量;

　　(2)現(xiàn)有4人去該商場(chǎng)購(gòu)物，求獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.

　　[解析]　(1)由已知，100位顧客中購(gòu)物款不低于100元的顧客有n+40=100×60%，

　　n=20;

　　m=100-(20+30+20+10)=20.

　　該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量大約為5000×=3000件.

　　(2)由(1)可知1人購(gòu)物獲得紀(jì)念品的頻率即為概率

　　p==.

　　故4人購(gòu)物獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B(4，).

　　P(ξ=0)=C()0()4=，

　　P(ξ=1)=C()1()3=，

　　P(ξ=2)=C()2()2=，

　　P(ξ=3)=C()3()1=，

　　P(ξ=4)=C()4()0=，

　　ξ的分布列為

　　ξ 0 1 2 3 4 P ξ數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.

　　或由Eξ=4×=.

　　4.(2014·湖南理，17)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.

　　(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;

　　(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

　　[分析]　(1)由條件可知甲、乙研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率，求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率可用對(duì)立事件求解.

　　(2)先依據(jù)A、B產(chǎn)品研發(fā)成功的可能性確定利潤(rùn)ξ的取值，再依據(jù)獨(dú)立事件概率求分布列和期望.

　　[解析]　(1)設(shè)至少有一組研發(fā)成功的事件為事件A且事件B為事件A的對(duì)立事件，則事件B為兩種新產(chǎn)品都沒(méi)有成功，因?yàn)榧住⒁页晒Φ母怕史謩e為、.

　　則P(B)=(1-)×(1-)=×=，

　　再根據(jù)對(duì)立事件概率之間的公式可得

　　P(A)=1-P(B)=，

　　所以至少一種產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為.

　　(2)由題可設(shè)該企業(yè)可獲得利潤(rùn)為ξ，則ξ的取值有0,120+0,100+0,120+100，即ξ=0,120,100,220，由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得：

　　P(ξ=0)=(1-)×(1-)=;

　　P(ξ=120)=×(1-)=;

　　P(ξ=100)=(1-)×=;

　　P(ξ=220)=×=;

　　所以ξ的分布列如下：

　　ξ 0 120 100 220 P(ξ) 則數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+120×+100×+220×=32+20+88=130.

　　5.當(dāng)前人們普遍認(rèn)為拓展訓(xùn)練是一種挑戰(zhàn)極限、完善人格的訓(xùn)練，某大學(xué)生拓展訓(xùn)練中心著眼于大學(xué)生的實(shí)際情況，精心地設(shè)計(jì)了三個(gè)相互獨(dú)立的挑戰(zhàn)極限項(xiàng)目，并設(shè)置如下計(jì)分辦法：

　　項(xiàng)目 甲 乙 丙 挑戰(zhàn)成功得分 10 30 60 挑戰(zhàn)失敗得分 0 0 0 據(jù)調(diào)查，大學(xué)生挑戰(zhàn)甲項(xiàng)目的成功概率為，挑戰(zhàn)乙項(xiàng)目的成功概率為，挑戰(zhàn)丙項(xiàng)目的成功概率為.

　　(1)求某同學(xué)三個(gè)項(xiàng)目至少一項(xiàng)挑戰(zhàn)成功的概率，

　　(2)記該同學(xué)挑戰(zhàn)三個(gè)項(xiàng)目后所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列并預(yù)測(cè)該同學(xué)所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望.

　　[解析]　(1)甲、乙、丙這三個(gè)項(xiàng)目至少一項(xiàng)挑戰(zhàn)成功的概率

　　P=1-(1-)(1-)(1-)=1-=;

　　(2)由題意，X的可能取值為0、10、30、40、60、70、90、100.

　　P(X=0)=××=，

　　P(X=10)=××=，

　　P(X=30)=××=，

　　P(X=40)=××=，

　　P(X=60)=××=，

　　P(X=70)=××=，

　　P(X=90)=××=，

　　P(X=100)=××=，

　　所以X的分布列為

　　X 0 10 30 40 60 70 90 100 P E(X)=0×+10×+30×+40×+60×+70×+90×+100×=60.5(分).

　　所以該同學(xué)所得分的數(shù)學(xué)期望為60.5分.

　　6.(2013·唐山模擬)某籃球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在本賽季已結(jié)束的8場(chǎng)比賽中得分統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如下：

　　(1)比較這兩名隊(duì)員在比賽中得分的均值和方差的大小;

　　(2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名隊(duì)員得分超過(guò)15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名隊(duì)員在同一場(chǎng)比賽中得分多少互不影響，預(yù)測(cè)在本賽季剩余的2場(chǎng)比賽中甲、乙兩名隊(duì)員得分均超過(guò)15分的次數(shù)X的分布列和均值.

　　[解析]　(1)甲=(7+9+11+13+13+16+23+28)=15，

　　乙=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15，

　　s=[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75，

　　s=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.

　　甲、乙兩名隊(duì)員的得分均值相等;甲的方差較大(乙的方差較小).

　　(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，在一場(chǎng)比賽中，甲、乙得分超過(guò)15分的概率分別為p1=，p2=，

　　則兩人得分均超過(guò)15分的概率為p1p2=，

　　依題意，X～B(2，)，P(X=k)=C()k(1-)2-k，k=0,1,2，

　　X的分布列為

　　X 0 1 2 P X的均值E(X)=2×=.

　　7.(2014·合肥質(zhì)檢)某電視臺(tái)組織一檔公益娛樂(lè)節(jié)目，規(guī)則如下：箱中裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，參與者從中隨機(jī)摸出一球，若為白球，將其放回箱中，并再次隨機(jī)摸球;若為紅球，則紅球不放回并往箱中添加一白球，再次隨機(jī)摸球.如果連續(xù)兩次摸得白球，則摸球停止.設(shè)摸球結(jié)束時(shí)參與者摸出的紅球數(shù)是隨機(jī)變量ξ，受益人獲得的公益金yξ與摸出的紅球數(shù)ξ的關(guān)系是yξ=20000+5000ξ(單位：元).

　　(1)求在第一次摸得紅球的條件下，贏得公益金為30000元的概率;

　　(2)求隨機(jī)變量yξ的分布列與期望.

　　[分析]　(1)在第一次摸得紅球的條件下，再摸球時(shí)口袋中有1紅4白共5個(gè)球，當(dāng)yξ=30000時(shí)，ξ=2，因此需再摸得一紅球，有兩種可能，第二次摸得紅球;第二次摸得白球，第三次摸得紅球.

　　(2)關(guān)鍵是ξ=1的含義要弄清：ξ=1包括第一次摸得紅球，第二、三次均摸得白球，或第一次摸得白球，第二次摸得紅球，第三、四次都摸得白球.

　　[解析]　(1)在摸得第一個(gè)紅球的條件下，箱內(nèi)有1個(gè)紅球4個(gè)白球，摸球結(jié)束時(shí)贏得公益金為30000元的情形是：先摸得紅球或先摸得白球再摸得紅球，其概率為P=+×=.

　　(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0、1、2，，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量yξ的取值分別為20000、25000、30000.

　　P(ξ=0)=()2=，

　　P(ξ=1)=(+×)()2=，

　　P(ξ=2)=1--=.

　　隨機(jī)變量yξ分布列為

　　yξ 20000 25000 30000 P 隨機(jī)變量ξ的期望Eyξ=20000×+25000×+30000×=24352.

　　8.(2014·衡水中學(xué)二調(diào))今年年初，我國(guó)多個(gè)地區(qū)發(fā)生了持續(xù)性大規(guī)模的霧霾天氣，給我們的身體健康產(chǎn)生了巨大的威脅.私家車的尾氣排放也是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開(kāi)私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力.為此，很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行，我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

　　年齡(歲) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 6 9 6 3 4 (1)完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖;

　　(2)若從年齡在[15,25)、[25,35)的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

　　[解析]　(1)各組的頻率分別是0.1、0.2、0.3、0.2、0.1、0.1.

　　所以圖中各組的縱坐標(biāo)分別是0.01、0.02、0.03、0.02、0.01、0.01.

　　(2)ξ的所有可能取值為：0、1、2、3，

　　P(ξ=0)=·=·==，

　　P(ξ=1)=·+·=·+·==，

　　P(ξ=2)=·+·=·+·==，

　　P(ξ=3)=·=·==，

　　所以ξ的分布列是：

　　ξ 0 1 2 3 P 所以ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=.