1.橢圓的范圍實質(zhì)就是橢圓上點的橫坐標和縱坐標的取值范圍，在求解一些存在性和判斷性問題中有著重要的應用.

　　2.橢圓既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形.橢圓的對稱性在解決直線與橢圓的位置關(guān)系以及一些有關(guān)面積的計算問題時，往往能起到化繁為簡的作用.

　　3.橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個量，通過解方程或不等式可以求得離心率的值或范圍.

　　1.2　橢圓的簡單性質(zhì)

　　知識梳理

　　焦點的

　　位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標準

　　方程 +=1 +=1 范圍 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 頂點 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a) 軸長 短軸長=2b，長軸長=2a 焦點 (±c,0) (0，±c) 焦距 2c=2 對稱性 對稱軸是坐標軸，對稱中心是原點 離心率 e=，02，∴<2.

　　∴點P(m，n)在橢圓+=1的內(nèi)部，∴過點P(m，n)的直線與橢圓+=1有兩個交點.]

　　6.C　[∵·=0，∴M點軌跡方程為x2+y2=c2，其中F1F2為直徑，

　　由題意知橢圓上的點在圓x2+y2=c2外部，

　　設點P為橢圓上任意一點，則|OP|>c恒成立，

　　由橢圓性質(zhì)知|OP|≥b，其中b為橢圓短半軸長，

　　∴b>c，∴c22c2，

　　∴2<，∴e=<.

　　又∵0b>0)，

　　將點(-5,4)代入得+=1，

　　又離心率e==，即e2===，

　　解之得a2=45，b2=36，故橢圓的方程為+=1.

　　8.

　　解析　由題意知橢圓的焦點在x軸上，又直線x+2y-2=0與x軸、y軸的交點分別為(2,0)、(0,1)，它們分別是橢圓的焦點與頂點，所以b=1，c=2，從而a=，e==.

　　9.2

　　解析　由題意可知，圓心O到直線mx+ny=4的距離大于半徑，即得m2+n2<4，所以點M(m，n)在圓O內(nèi)，而圓O是以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓，故點(m，n)在橢圓內(nèi)，因此過點(m，n)的直線與橢圓必有2個交點.

　　10.解　依題意知H，F(xiàn)(c,0)，B(0，b).

　　設P(xP，yP)，且xP=c，代入到橢圓的方程，

　　得yP=.∴P.

　　∵HB∥OP，∴kHB=kOP，即=.

　　∴ab=c2.

　　∴e==，∴e2==e-2-1.

　　∴e4+e2-1=0.∵00，y>0)，由AF2⊥F1F2知x=c，

　　∴A(c，y)，代入橢圓方程得

　　+=1，∴y=，

　　∵△AOF2的面積為2，

　　∴S△AOF2=x×y=2，

　　即c·=2，∵=，∴b2=8，

　　∴a2=2b2=16，

　　故橢圓的方程為+=1.12.B　[由題意知2b=a+c，又b2=a2-c2，

　　∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac.

　　∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0.

　　∴5e2+2e-3=0.∴e=或e=-1(舍去).]

　　13.解　(1)∵a=2，c=，∴b==1.

　　∴橢圓的標準方程為+y2=1.

　　(2)設P(x0，y0)，M(x，y)，由中點坐標公式，

　　得　∴

　　又∵+y=1，∴+2=1

　　即為中點M的軌跡方程.