1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以通過待定系數(shù)法求得，不知道焦點在哪一個坐標(biāo)軸上的雙曲線，方程可設(shè)為+=1 (mn<0).

　　2.和雙曲線有關(guān)的軌跡問題要按照求軌跡方程的一般步驟來解，也要和雙曲線的定義相結(jié)合.

　　§3　雙曲線

　　3.1　雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

　　知識梳理

　　1.(1)|F1F2|　以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線　不存在

　　(2)雙曲線的焦點　雙曲線的焦距

　　2.(1)-=1(a>0，b>0)　(-c,0)　(c,0)

　　(2)-=1(a>0，b>0)　(0，-c)　(0，c)

　　(3)c2=a2+b2

　　作業(yè)設(shè)計

　　1.B　[根據(jù)雙曲線的定義，乙甲，但甲乙，

　　只有當(dāng)2a<|F1F2|且a≠0時，其軌跡才是雙曲線.]

　　2.B　[原方程可化為+y2=1，因為ab<0，所以<0，所以曲線是焦點在y軸上的雙曲線.]

　　3.A　[∵雙曲線的焦點在x軸上，

　　∴設(shè)雙曲線方程為-=1 (a>0，b>0).

　　由題知c=2，∴a2+b2=4.①

　　又點(2,3)在雙曲線上，∴-=1.②

　　由①②解得a2=1，b2=3，

　　∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.]

　　4.A　[∵雙曲線的焦點為(2,0)，在x軸上且c=2，

　　∴m+3+m=c2=4.∴m=.]

　　5.C　[由題意兩定圓的圓心坐標(biāo)為O1(0,0)，O2(4,0)，設(shè)動圓圓心為O，動圓半徑為r，則|OO1|=r+1，|OO2|=r+2，∴|OO2|-|OO1|=1<|O1O2|=4，故動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.]

　　6.B　[設(shè)雙曲線方程為-=1，因為c=，c2=a2+b2，所以b2=5-a2，所以-=1.由于線段PF1的中點坐標(biāo)為(0,2)，則P點的坐標(biāo)為(，4).代入雙曲線方程得-=1，解得a2=1或a2=25(舍去)，所以雙曲線方程為x2-=1.]

　　7.2

　　解析　∵||PF1|-|PF2||=4，

　　又PF1⊥PF2，|F1F2|=2，

　　∴|PF1|2+|PF2|2=20，∴(|PF1|-|PF2|)2

　　=20-2|PF1||PF2|=16，∴|PF1|·|PF2|=2.

　　8.-10.所以(k+1)(k-1)<0.

　　所以-10，b>0)，由題意知c2=36-27=9，c=3.

　　又點A的縱坐標(biāo)為4，則橫坐標(biāo)為±，于是有

　　解得

　　所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

　　方法二　將點A的縱坐標(biāo)代入橢圓方程得

　　A(±，4)，

　　又兩焦點分別為F1(0,3)，F(xiàn)2(0，-3).

　　所以2a=|-

　　|=4，

　　即a=2，b2=c2-a2=9-4=5，

　　所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.

　　11.解　設(shè)A點的坐標(biāo)為(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，

　　得===2R，

　　代入sin B-sin C=sin A，

　　得-=·，又|BC|=8，

　　所以|AC|-|AB|=4.

　　因此A點的軌跡是以B、C為焦點的雙曲線的右支(除去右頂點)且2a=4,2c=8，

　　所以a=2，c=4，b2=12.

　　所以A點的軌跡方程為-=1 (x>2).

　　12.B

　　[由c=2得a2+1=4，

　　∴a2=3，

　　∴雙曲線方程為-y2=1.

　　設(shè)P(x，y)(x≥)，

　　·=(x，y)·(x+2，y)=x2+2x+y2=x2+2x+-1=x2+2x-1(x≥).

　　令g(x)=x2+2x-1(x≥)，則g(x)在[，+∞)上單調(diào)遞增.g(x)min=g()=3+2.

　　∴·的取值范圍為[3+2，+∞).]

　　13.解　設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1，

　　且c=，則a2+b2=7.①

　　由MN中點的橫坐標(biāo)為-知，

　　中點坐標(biāo)為.

　　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由

　　得b2(x1+x2)(x1-x2)-a2(y1+y2)(y1-y2)=0.

　　∵，且=1，

　　∴2b2=5a2.②

　　由①，②求得a2=2，b2=5.

　　∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.