1.數(shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式、不等式、整除問題及數(shù)列問題中有廣泛的應(yīng)用.
2.在證明n=k+1時(shí)的命題中，怎樣變形使之出現(xiàn)n=k時(shí)的命題的形式是解決問題的關(guān)鍵，要找清n=k+1時(shí)式子結(jié)構(gòu)或幾何量的改變.知識(shí)梳理
1.某些與正整數(shù)n有關(guān)
2.(1)驗(yàn)證：n=1時(shí)，命題成立 (2)當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立 一切正整數(shù)n
作業(yè)設(shè)計(jì)
1.C [當(dāng)n=1時(shí)，an+1=a2.
等號(hào)左邊的項(xiàng)是1+a+a2.]
2.C [當(dāng)n取1、2、3、4時(shí)2n>n2+1不成立，當(dāng)n=5時(shí)，25=32>52+1=26，第一個(gè)能使2n>n2+1的n值為5.]
3.C [觀察f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)=1++…+，
而f(2k+1)=1++…++++…+.
因此f(2k+1)比f(wàn)(2k)多了2k項(xiàng).]
4.B [當(dāng)n=k時(shí)左端為(k+1)(k+2)·…·(k+k)，當(dāng)n=k+1時(shí)，左端為(k+2)(k+3)…(k+1+k-1)·(k+1+k)(k+1+k+1)，即(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2).
觀察比較它們的變化知增乘了=2(2k+1).]
5.B [因n為正奇數(shù)，所以否定C、D項(xiàng);當(dāng)k=1時(shí)，2k-1=1,2k+1=3，故選B.]
6.C [當(dāng)n=k時(shí)，左邊=++…+.
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=++…+=++…++.]
7.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
8.沒有用到歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法
9.Sn=
解析 S1=1，S2=，S3==，S4=，猜想Sn=.
10.證明 當(dāng)n=1時(shí)，21+2=4>n2=1，
當(dāng)n=2時(shí)，22+2=6>n2=4，
當(dāng)n=3時(shí)，23+2=10>n2=9，
當(dāng)n=4時(shí)，24+2=18>n2=16，
由此可以猜想，
2n+2>n2 (nN+)成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，左邊=21+2=4，右邊=1，
所以左邊>右邊，所以原不等式成立.
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=22+2=6，
右邊=22=4，所以左邊>右邊;
當(dāng)n=3時(shí)，左邊=23+2=10，右邊=32=9，
所以左邊>右邊.
假設(shè)n=k時(shí)(k≥3且kN+)時(shí)，不等式成立，
即2k+2>k2，那么n=k+1時(shí)，
2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.
要證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，
只需證2k2-2≥(k+1)2，
即證k2-2k-3≥0，
即證(k+1)(k-3)≥0.
又k+1>0，k-3≥0，
(k+1)(k-3)≥0.
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.
由可知，nN+，2n+2>n2.
11.解 (1)a2===，a3===.
(2)猜想an=，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論正確.
證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.
假設(shè)當(dāng)n=k(kN+)時(shí)，結(jié)論成立，即ak=，
那么ak+1====.
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.
根據(jù)可知，結(jié)論對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
即an=.
12.解 f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，
f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：n=1,2時(shí)，由上得證，假設(shè)n=k(kN+，k≥2)時(shí)，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，
則n=k+1時(shí)，
f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k
=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2).
f(k+1)能被36整除.
因此，對(duì)任意nN+，f(n)都能被36整除.
又f(1)不能被大于36的數(shù)整除，
所求最大的m值等于36.
13.(1)解 由題意：Sn=bn+r，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=bn-1+r.
所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)，
由于b>0且b≠1，
所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列.
又a1=b+r，a2=b(b-1)，
=b，即=b，解得r=-1.
(2)證明 當(dāng)b=2時(shí)，由(1)知an=2n-1，
因此bn=2n(n∈N+)，
所證不等式為··…·>.
當(dāng)n=1時(shí)，左式=，右式=.
左式>右式，所以結(jié)論成立，
假設(shè)n=k(kN+)時(shí)結(jié)論成立，
即··…·>，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
··…·>·=.
要證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，
只需證≥，
即證≥，
由基本不等式=≥成立，
故≥成立，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.
由可知，nN+時(shí)，不等式··…·>成立.
