1.平面圖形的面積表示

　　一般地，設(shè)由曲線(xiàn)y=f(x)，y=g(x)以及直線(xiàn)x=a，x=b所圍成的平面圖形的面積為S，則________________________.

　　2.旋轉(zhuǎn)體的體積

　　旋轉(zhuǎn)體可以看作由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)，直線(xiàn)x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體的體積為V=π[f(x)]2dx.

　　一、選擇題

　　1.將由y=cos x，x=0，x=π，y=0所圍圖形的面積寫(xiě)成定積分形式為(　　)

　　A.cos xdx B.0cos xdx+|πcos xdx|

　　C.2sin xdx D.2|cos x|dx

　　2.由直線(xiàn)x=，x=2，曲線(xiàn)y=及x軸所圍圖形的面積為(　　)

　　A. B. C.ln2 D.2ln2

　　3.由曲線(xiàn)y=x3、直線(xiàn)x=-2、x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積是(　　)

　　A.x3dx B.|x3dx|

　　C.|x3|dx D.x3dx+x3dx

　　4.由曲線(xiàn)y=x2-1、直線(xiàn)x=0、x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積是(　　)

　　A.(x2-1)dx

　　B.|(x2-1)dx|

　　C.|x2-1|dx

　　D.(x2-1)dx+(x2-1)dx

　　5.由y=x2，x=0和y=1所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積可以表示為(　　)

　　A.V=π()2dy=

　　B.V=π[12-(x2)2]dx=π

　　C.V=π(x2)2dy=

　　D.V=π(12-x2)dx=π

　　6.由y=e-x，x=0，x=1圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為(　　)

　　A.(1-e-2)B.

　　C.(1-e)D.e-2

　　二、填空題

　　7.由曲線(xiàn)y=x2+4與直線(xiàn)y=5x，x=0，x=4所圍成平面圖形的面積是________.

　　8.直線(xiàn)x=k平分由y=x2，y=0，x=1所圍圖形的面積，則k的值為_(kāi)_______.

　　9.曲線(xiàn)y=，直線(xiàn)x=2，x=3與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是________.

　　三、解答題

　　10.計(jì)算曲線(xiàn)y=x2-2x+3與直線(xiàn)y=x+3所圍成的圖形的面積.

　　11.求由曲線(xiàn)y=4x-x2和直線(xiàn)y=x所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

　　能力提升

　　12.由曲線(xiàn)y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積為_(kāi)_______.

　　13.在曲線(xiàn)y=x2 (x≥0)上的某點(diǎn)A處作一切線(xiàn)使之與曲線(xiàn)以及x軸所圍圖形的面積為.求切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線(xiàn)方程.

　　1.明確利用定積分求平面圖形面積的步驟，會(huì)將曲線(xiàn)圍成的曲邊梯形的面積表示成定積分的形式，并能求出面積.求解時(shí)一般先畫(huà)出草圖，確定積分變量，求交點(diǎn)確定積分上、下限，再利用定積分求得面積.特別地要注意，當(dāng)所圍成的圖形在x軸下方時(shí)，求面積需對(duì)積分取絕對(duì)值.

　　2.對(duì)求體積的有關(guān)問(wèn)題，要結(jié)合函數(shù)的形式寫(xiě)清對(duì)應(yīng)的定積分，然后求出所對(duì)應(yīng)的體積.知識(shí)梳理

　　1.S=f(x)dx-g(x)dx

　　作業(yè)設(shè)計(jì)

　　1.B　[定積分可正，可負(fù)，但不論圖形在x軸上方還是在x軸下方面積都是正數(shù)，故選B.]

　　2.D　[所求面積2dx=ln x|2=ln 2-ln =2ln 2.]

　　3.C　4.C　5.B

　　6.A　[V=π(e-x)2dx

　　=πe-2xdx

　　=-e-2x|=(1-e-2).]

　　7.

　　解析

　　由，

　　得x=1或x=4.

　　所求面積為S=(x2+4-5x)dx+(5x-x2-4)dx

　　=|+|=.

　　8.

　　解析　作平面圖形，如右圖所示.

　　由題意，得

　　x2dx=x2dx

　　即x3|=x3|.

　　k3=，k=.

　　9.π

　　解析　V=π·()2dx=|=π.

　　10.

　　解　由

　　解得x=0或x=3.

　　S=(x+3)dx-(x2-2x+3)dx

　　=[(x+3)-(x2-2x+3)]dx

　　=(-x2+3x)dx=|=.

　　所圍成的圖形的面積為.

　　11.解　由y=4x-x2得頂點(diǎn)P(2,4)，

　　聯(lián)立方程，得交點(diǎn)Q(3,3)，O(0,0).

　　如圖所示

　　又由上圖知

　　V=π·y2dy+π(2+)2dy-π(2-)2dy

　　=π·y3|+π|-π|

　　=π=π.

　　12.A　[由題可知y=x2，y=x3圍成的封閉圖形的面積為(x2-x3)dx=|

　　=-=.]

　　13.解　由題意可設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，x)，則切線(xiàn)方程為y=2x0x-x，可得切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.畫(huà)出草圖，可得曲線(xiàn)y=x2，直線(xiàn)y=2x0x-x與x軸所圍圖形如圖所示. 故S=S1+S2=0x2dx+

　　=x3|0+x3|x0-(x0x2-xx)|x0==，

　　解得x0=1，

　　所以切點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1)，所求切線(xiàn)方程為y=2x-1.